Η εικασία Kadison-Singer και η λύση της

Μια ομάδα τριών μαθηματικών, εξέδωσε τον περασμένο μήνα τη λύση σε ένα πρόβλημα των μαθηματικών που κρατά από το 1959, κι έχει άμεση σχέση με τα θεμέλια της φυσικής.

Πρόκειται για τους Adam Marcus και Daniel Spielman του πανεπιστημίου του Γέιλ, και τον Ινδό μαθηματικό Nikhil Srivastava, οι οποίοι απάντησαν καταφατικά στην εικασία Kadison-Singer, που πήρε το όνομα των δύο μαθηματικών που τη διατύπωσαν πριν από παραπάνω από μισό αιώνα, στην εργασία τους με τίτλο “Related Questions”.

Το ερώτημα των Kadison-Singer, πηγάζει από τη κβαντική φυσική. Όταν περιγράφουμε την ύλη στη κβαντομηχανική, απασχολούμαστε με δύο πράγματα: τι είναι παρατηρήσιμο, δηλαδή ποια μεγέθη μπορούμε να μετρήσουμε, και τις καταστάσεις που επιτρέπονται από το πείραμά μας, οι οποίες αφορούν στην πιθανότητα ενός παρατηρήσιμου μεγέθους να έχει μία συγκεκριμένη τιμή.

Για να γίνει αυτό κατανοητό, μπορούμε να φανταστούμε μια απλή ρίψη ενός νομίσματος. Το παρατηρήσιμο μέγεθος, είναι η όψη η οποία κοιτάζει προς τα πάνω, ενώ οι πιθανές καταστάσεις είναι κορώνα ή γράμματα και έχουν ίση πιθανότητα να εμφανιστούν (½). Πειράματα κβαντικής φυσικής μπορούν να μοιάζουν πολύ με αυτό το πείραμα, μόνο που τότε παρατηρούμε τις θεμελιώδεις ιδιότητες της ύλης. Αντί για κέρμα, μπορούμε αυτή τη φορά να μετράμε το σπιν ενός ηλεκτρονίου, που έχει ίση πιθανότητα να «δείχνει» πάνω ή κάτω.

Η διαφορά στην κβαντική φυσική σε σχέση  με ό,τι έχουμε συνηθίσει στην καθημερινότητά μας, είναι πως κάποια παρατηρήσιμα μεγέθη είναι συμβατά μεταξύ τους ενώ κάποια άλλα όχι. Για παράδειγμα, μπορούμε να μετρήσουμε ταυτόχρονα το σπιν και τη θέση ενός σωματιδίου, αρά αυτά είναι συμβατά παρατηρήσιμα. Δεν μπορούμε όμως, εξαιτίας της αρχής της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ, να μετρήσουμε ταυτόχρονα τη θέση και την ορμή, ή την ενέργεια και το χρόνο.  

Εάν θέλουμε να μάθουμε τις ιδιότητες ενός συστήματος σε ένα πείραμα κβαντικής φυσικής, να δώσουμε δηλαδή πιθανότητες σε όλα τα μετρήσιμα μεγέθη, η μέθοδος που επινοήθηκε από τον Paul Dirac είναι η παρακάτω:

α) Γράφουμε όλα τα συμβατά παρατηρήσιμα μεγέθη. Αν αυτά τα μεγέθη είναι  για παράδειγμα το σπιν S και η θέση Q, δημιουργούμε μία άλγεβρα από συναρτήσεις αυτών των μεγεθών, που ονομάζουμε μέγιστη άλγεβρα.

β) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αρκετές φορές, ώστε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες για κάθε ενδεχόμενο. Μετά από αρκετές επαναλήψεις, είμαστε σε θέση να επιλέξουμε μια συγκεκριμένη κατανομή πιθανότητας.

γ) Γενικεύουμε αυτές τις πληροφορίες για όλο το σύστημα, συμπεριλαμβάνοντας και μη συμβατά παρατηρήσιμα μεγέθη. Επιλέγουμε έτσι μια κατανομή πιθανότητας που αντιστοιχεί σε όλα τα παρατηρήσιμα μεγέθη. Θα θέλαμε μάλιστα, αυτή η γενίκευση να είναι μοναδική, ώστε να είμαστε σίγουροι πως επιλέξαμε τη σωστή.

Το τελευταίο βήμα είναι και το πιο κρίσιμο στην όλη διαδικασία. Η εικασία Kadison-Singer λέει ακριβώς αυτό: ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας τρόπος να χαρακτηρίσουμε πλήρως το κβαντικό μας σύστημα, από μία μέγιστη άλγεβρα που έχει κατασκευαστεί από συμβατά παρατηρήσιμα μεγέθη, και με μοναδικό τρόπο να συμπεριλάβουμε όλα τα  υπόλοιπα  παρατηρήσιμα.*

Αν και μέχρι πρότινος η παραπάνω διαδικασία ήταν μόνο μια εικασία, πλέον είναι μαθηματικά αποδεδειγμένο πως τα πειράματά μας αρκούν για να μας δώσουν μια πλήρη περιγραφή του κβαντικού κόσμου. Πλην της φυσικής, η συγκεκριμένη απόδειξη έχει και οφέλη και για άλλους κλάδους των μαθηματικών, όπως η θεωρία πινάκων και η θεωρία αλγορίθμων.

*Στη γλώσσα των μαθηματικών, η εικασία Kadison-Singer είναι η εξής: Έστω A μια αντιμεταθετική μέγιστη υποάλγεβρα της άλγεβρας Β(Η) δεσμευμένων  γραμμικών τελεστών, σε ένα χώρο Hilbert. Έστω ρ: Αà C  μια κατάσταση σε αυτή την υποάλγεβρα. Υπάρχει μια επέκταση ρ’: Β(Η) à C του ρ σε όλη την Β(Η) και είναι μοναδική.