Happy new year

Tι είναι ο χρόνος;

"Τι είναι ο χρόνος; Αν δεν με ρωτήσει κανείς ξέρω. Αν μου ζητήσει όμως κάποιος να του το εξηγήσω , δεν ξέρω."  Άγιος Αυγουστίνος.

Ο χώρος και ο χρόνος του Νεύτωνα.

Το 1687 ο Ισαάκ Νεύτων παρουσίασε το πρώτο μαθηματικό μοντέλο για τον χώρο και τον χρόνο στο έργο του "Μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας". Στο μοντέλο αυτό ο χρόνος και ο χώρος συνιστούσαν ένα υπόβαθρο όπου διαδραματίζονταν τα γεγονότα , το οποίο όμως δεν επηρεαζόταν από αυτά. Ο χρόνος ήταν διαχωρισμένος από τον χώρο και θεωρούνταν ως μια ανεξάρτητη γραμμή η οποία επεκτεινόταν επ'άπειρον και προς τις δύο κατευθύνσεις. Θεωρούνταν δηλαδή παντοτινός με την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπήρχε για πάντα.   

Ο χώρος και ο χρόνος του Αϊνστάιν

Επιτυχόντες Διαγωνισμού Υπατίας 2017-2018

Η Διοικούσα Επιτροπή του Παραρτήματος Ημαθίας της E.Μ.E. με ικανοποίηση ανακοινώνει τα αποτελέσματα του 10^ου Μαθηματικού Διαγωνισμού «ΥΠΑΤΙΑ», τον οποίο διοργάνωσε φέτος το παράρτημα για 10^η συνεχή χρονιά.
Ο διαγωνισμός «ΥΠΑΤΙΑ» έχει τοπικό χαρακτήρα,   και συνδιοργανώνεται με τη Δ/νση Δ/θμιας Εκπ/σης Ημαθίας. Αφορά μαθητές της Α΄ Γυμνασίου και διεξάγεται ταυτόχρονα με τον πανελλήνιο διαγωνισμό «ΘΑΛΗΣ» της ΕΜΕ για τις υπόλοιπες τάξεις Γυμνασίου και Λυκείου.
Στον φετινό διαγωνισμό πήραν μέρος μαθητές και από τον  Έβρο, την Κοζάνη, την Πιερία , Φλώρινα και το Λονδίνο με πρωτοβουλία των τοπικών παραρτημάτων της ΕΜΕ και σε συνεργασία με τις κατά τόπους Διευθύνσεις Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. Το γεγονός αυτό δείχνει και την καταξίωση του Ημαθιώτικου διαγωνισμού και εκτός Ημαθίας.
Η Διοικούσα Επιτροπή του παραρτήματος συγχαίρει θερμά όλους τους μαθητές που συμμετείχαν στους διαγωνισμούς. Όσοι διακρίθηκαν, θα διαγωνιστούν το Σάββατο 20 Ιανουαρίου 2018 στην επόμενη φάση (διαγωνισμός «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ»).
Η συμμετοχή και οι επιτυχίες των μαθητών μας στους διαγωνισμούς, δείχνουν το ενδιαφέρον και την ευγενική άμιλλα που υπάρχει, μεταξύ των νέων παιδιών για τα Μαθηματικά.
Η Διοικούσα Eπιτροπή του Παραρτήματος ευχαριστεί ιδιαίτερα τους συναδέλφους Μαθηματικούς, που συνδράμουν στο έργο του Παραρτήματος
α) προσφέροντας δωρεάν μαθήματα διαγωνιστικών μαθηματικών στους υποψηφίους
β) επιτηρώντας στη διάρκεια της εξέτασης και
γ) βαθμολογώντας τα γραπτά των διαγωνιζομένων.
Τα αποτελέσματα δείχνουν πως αυτές οι προσπάθειες δίνουν καρπούς.
Οι διακριθέντες μαθητές είναι οι παρακάτω:
ΗΜΑΘΙΑ 

Η Γεωμετρία και η "τραγωδία " ενός μαθητή παραμονές Χριστουγέννων (Ποιήμα)

Ε ρε άτιμη Γεωμετρία
είκοσι περίμενα
και πήρα μόνο τρία.

Μ’ αυτό το " ρεζιλίκι "μου
χάνω το χαρτζιλίκι μου,

Όταν τα μαθηματικά δεν υπηρετούσαν την ύλη, αλλά μόνο το πνεύμα

Μετά το Θαλή το Μιλήσιο (6ος π.Χ. αι.) που ήταν ο πρώτος άνθρωπος που αναζήτησε μια λογική θεμελίωση των γεωμετρικών θεωρημάτων απελευθερώνοντας τα σχήματα από τα αντικείμενα που τα προσδιορίζουν και προσπάθησε να εξηγήσει ορθολογικά τα φαινόμενα του κόσμου, τη σκυτάλη στην ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών  παίρνουν οι Πυθαγόρειοι.

Οι Πυθαγόρειοι (5ος π.Χ. αι.) χρησιμοποιούσαν ένα δικό τους ιδιόμορφο συμβολιστικό σύστημα αποτελούμενο από σημεία (τελείες).

Το κλειδί της συμβολικής αυτής ήταν ότι έπρεπε σε κάθε σχήμα η κάθε πλευρά να έχει τον ίδιο αριθμό κουκίδων. Η

O Ερατοσθένης και η ακτίνα της Γης

 

 

 Γράφει ο Χάρης Βάρβογλης, καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ

 

 Οι αρχαίοι Ελληνες, αντίθετα με όσα πιστεύει ο μέσος πολίτης σήμερα, γνώριζαν από την εποχή του Αριστοτέλη ότι η Γη είναι σφαιρική και όχι επίπεδη. Ο Ερατοσθένης μάλιστα, με ένα πείραμα που έχει μείνει στην Ιστορία, μπόρεσε να μετρήσει την ακτίνα της Γης με ακρίβεια απρόσμενη για τα μέσα της εποχής εκείνης. 

Οι μεταγενέστεροι αστρονόμοι και γεωγράφοι όμως...
συντάχθηκαν με την άποψη του Πτολεμαίου ότι η Γη είναι 30% μικρότερη από όσο είχε μετρήσει ο Ερατοσθένης. Το λάθος αυτό παρέμεινε για 15 αιώνες και ήταν η αιτία να αποφασίσει ο Κολόμβος το ταξίδι για την Ινδία, το οποίο κατέληξε στην ανακάλυψη της Αμερικής.

Στον τροπικό του Καρκίνου

Το πείραμα του Ερατοσθένη

Μαθηματικές σπαζοκεφαλιές

 

 

Η εικασία του Kepler και το στοίβαγμα των φρούτων

Φαίνεται σαν ένα μάλλον κοινό πράγμα για να ασχοληθούμε, αφού το βλέπουμε καθημερινά στα ράφια των σουπερμάρκετ αλλά και στα μανάβικα. Το στοίβαγμα των φρούτων και των λαχανικών είναι ωστόσο ένα περίπλοκο μαθηματικό πρόβλημα. Ο μανάβης βέβαια το κάνει αβίαστα, πιθανώς χωρίς ούτε καν να το σκέφτεται. Αλλά για τα τελευταία 400 χρόνια, οι μαθηματικοί προσπαθούσαν απεγνωσμένα να αποδείξουν κάτι που ονομάζεται εικασία του Kepler, ένα πρόβλημα που ουσιαστικά ισοδυναμεί με την τέχνη της αποτελεσματικής στοίβαξης

Ο νους, ο χώρος και η γεωμετρία

 Γράφει ο μαθηματικός Γιώργος Μπαντές 

Όπως  είναι  γνωστό, το μοναδικό  εργαλείο  για  την  κατασκευή φυσικών θεωριών,  δηλ.  θεωριών  που  να  ερμηνεύουν  τον  φυσικό  κόσμο,  είναι  τα  μαθηματικά. Οι μαθηματικές  κατασκευές  παράγονται στο νου,  με  μια  διαδικασία  που δεν είναι αντικείμενο των μαθηματικών.

Η μαθηματική  κατασκευή και ο φυσικός κόσμος είναι δύο κόσμοι  οι οποίοι επικοινωνούν  αμφίδρομα  μέσω  των αισθήσεων  και των  εμπειριών που αυτές  παράγουν (μετρήσεις). Έτσι  δημιουργείται  εκείνο το  θαύμα  της  κατανόησης για  το  οποίο ο  Αινστάιν  έλεγε:

το  πιο  ακατανόητο  πράγμα  είναι  το ότι ο κόσμος  είναι  κατανοητός.

 Η  ύπαρξη  των  δύο αυτών  κόσμων  είναι σαφώς  διακρίσιμη  στην περίπτωση  της  γεωμετρίας.  Όταν  ο  Carnap αναφέρει  ότι  είναι  αναγκαίο να διακρίνουμε την μαθηματική γεωμετρία απ’ τη φυσική γεωμετρία εννοεί  αυτούς  τους  δύο  κόσμους: τη γεωμετρία του μυαλού και τη γεωμετρία των μετρήσεων.  Το χώρο  μέσα  στο νου μας, τον  μαθηματικό  χώρο  και το χώρο έξω απ’  αυτόν, τον φυσικό χώρο. Στην  ιστορία της γεωμετρίας, στις αρχές της ανάπτυξής της, υπερεκτιμήθηκε ο μαθηματικός χώρος,  με  αποτέλεσμα να δημιουργηθούν  δόγματα στην ερμηνεία  της αλήθειας της γεωμετρίας, προσθέτοντας άχρηστη γνώση στη φυσική φιλοσοφία. Θα εντοπίσουμε τα λεπτά σημεία, μακριά από δόγματα, που πρέπει να συλλάβουμε στη θεώρηση του μαθηματικού χώρου.

Τα λυωμένα ρολόγια του Νταλί μπορούν να μαςδώσουν μια εικόνα του μαθηματικού χώρου…Τώρα έχει μια σουρεαλιστική μετρική

Ο μαθηματικός χώρος και η ευθεία

Μπορείτε αν βρείτε τον αριθμό;;

Κάθε ημέρα της εβδομάδας έχει ίδια πιθανότητα με τις άλλες να είναι ημέρα των Χριστουγέννων;

  

Φέτος τα Χριστούγεννα πέφτουν Δευτέρα. Πέρυσι ήταν Κυριακή , εν γένει  η μέρα των Χριστουγέννων αλλάζει κάθε χρόνο.

 

Ερώτηση:

Κάθε μέρα της εβδομάδας  έχει τις ίδιες πιθανότητες να είναι η μέρα των Χριστουγέννων.

Απάντηση:

Δεν έχουν όλες οι μέρες της εβδομάδας την ίδια πιθανότητα να πέφτουν  Χριστούγεννα .

Ένα ανάλογο πρόβλημα τέθηκε το 1950 , στον μαθηματικό  διαγωνισμό Putnam.

 

«Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα η μέρα των Χριστουγέννων να είναι  Δευτέρα δεν είναι 1/7».

Για να είμαστε ακριβείς  το πρόβλημα  αφορά  το Γρηγοριανό ημερολόγιο και οι  κανόνες που  καθορίζουν τα δίσεκτα και τα μη δίσεκτα έτη είναι:

Πόσα τετράγωνα υπάρχουν στο χριστουγεννιάτικο δέντρο;

Ο γρίφος Δεκαπέντε

Ο Σάμιουελ Λόιντ γεννήθηκε στην Φιλαδέλφεια των ΗΠΑ στις 31 Ιανουαρίου 1841 και πέθανε στις 10 Απριλίου 1911. Ήταν ο μεγαλύτερος Αμερικανός συνθέτης γρίφων (διασκεδαστικών μαθηματικών, λογικών, σκακιστικών, λεκτικών, οπτικών), γιατί δημιούργησε πάνω από 10000 γρίφους.
Ο Λόιντ έγινε γνωστός σε πολύ κόσμο το 1878, όταν επινόησε τον γρίφο Δεκαπέντε. Ο γρίφος είναι ένα τετραγωνικό πλαίσιο που έχει μέσα 15 τετραγωνικές ψηφίδες σε διάταξη 4×4 οπότε υπάρχει μια θέση κενή.
Το ζητούμενο είναι να μπουν οι ψηφίδες στη σωστή σειρά (1,2,3,4…) γλιστρώντας τα πάνω στον πίνακα, εκμεταλλευόμενοι κάθε φορά το κενό που σχηματίζεται από την κίνησή τους.

Ένα εορταστικό μαθηματικό πρόβλημα.…

Ένα εορταστικό προβληματάκι ...
   "Ο Φρέντι  είναι ένα από τα πολλά ξωτικά στην υπηρεσία του Αη Βασίλη ,έχει σαν υποχρέωση του να παραλαμβάνει τα γράμματα των παιδιών, να καταγράφει τα δώρα που ζητούν και να φροντίζει για την κατασκευή τους .Τώρα λοιπόν , που τα Χριστούγεννα πλησιάζουν έπεσε πολύ δουλειά για τον Φρέντι.Κάθε εβδομάδα καταχωρεί και διεκπεραιώνει περισσότερα γράμματα από την προηγούμενη .Τις τρεις εβδομάδες πριν τα Χριστούγεννα  καταχώρησε 56 γράμματα και μάλιστα  η διαφορά ανάμεσα στον αριθμό των γραμμάτων της πρώτης εβδομάδας και της δεύτερης  πολλαπλασιασμένη επί την διαφορά του αριθμού των γραμμάτων της τρίτης και της δεύτερης εβδομάδας ισούται

Αριθμοί Τέλειοι - Ελλιπείς - Υπεράφθονοι

 

Ας εξετάσουμε σήμερα κάποιες κατηγορίες αριθμών, σύμφωνα με τους διαιρέτες τους δηλαδή τους αριθμούς εκείνους που τους διαιρούν ακριβώς.
Ίσως να εκπλαγείτε λιγάκι, όταν δείτε τις ομοιότητες που έχουν αυτοί οι αριθμοί με τη καθημερινότητά μας.
Θα ξεκινήσουμε με τη διάκριση των άρτιων -ή ζυγών- αριθμών σε Ελλιπείς, Τέλειους, και Υπεράφθονους.

Ελλιπής, ονομάζεται ένας αριθμός,

Πόσο σιτάρι χωράει σε μια σκακιέρα

Η ιστορία του σκακιού χάνεται στα βάθη των αιώνων. Παιχνίδια σχετιζόμενα με το σκάκι παίζονταν ήδη από την μακρινή αρχαιότητα, στην περιοχή από την Ελλάδα και την Αίγυπτο ως και την Κίνα. Όλες οι χώρες που βρίσκονται σε αυτήν την περιοχή διεκδικούν την καταγωγή του παιχνιδιού. Ένα τέτοιο παιχνίδι είχε φτάσει και στους Κέλτες ήδη πριν την Ρωμαϊκή κατάκτηση.
Παρά ταύτα δεν έχει μέχρι σήμερα καθορισθεί ούτε ο εφευρέτης του, ούτε ο χρόνος της εμφάνισής του. Απ΄ όλες τις θεωρίες που έχουν αναπτυχθεί επικρατέστερη εκδοχή είναι ότι το σκάκι τελικά προήλθε από την Ινδία και συγκεκριμένα εφευρέτης του είναι ο βραχμάνος Σίσσα. Τούτο βασίζεται κυρίως στην ιστορία του διπλασιασμού των σπόρων.

Σύμφωνα με την παράδοση όταν κάποτε ο ηγεμόνας της περιοχής που ζούσε ο βραχμάνος Σίσσα κάλεσε αυτόν για να επιδείξει το παιγνίδι που είχε εφεύρει τόσο πολύ γοητεύτηκε απ΄ αυτό που ρώτησε τον Σίσσα τι θα ήθελε ως ανταμοιβή. Τότε ο σοφός εκείνος ζήτησε τόσους κόκκους σιτάρι όσους θα μπορούσαν να συμπεριληφθούν στα 64 τετράγωνα της σκακιέρας βάζοντας στο πρώτο ένα κόκκο, στο δεύτερο δύο, στο τρίτο τέσσερις, στο τέταρτο οκτώ κ.λπ, διπλασιάζοντας έτσι κάθε φορά στο επόμενο τετράγωνο.
Ο ηγεμόνας κρίνοντας το αίτημα ασήμαντο τον ξαναρώτησε για κάτι σοβαρότερο. Στην επιμονή όμως του Σίσα ο ηγεμόνας διέταξε ν΄ αδειάσουν μια φορτωσιά καμήλας σιτάρι δίπλα του.

Η έκπληξή του όμως υπήρξε μεγάλη όταν ο θησαυροφύλακάς του και προϊστάμενος των αποθηκών του ανέφερε ότι όχι μόνο το σιτάρι της ηγεμονίας, αλλά και όλων των γύρω ηγεμονιών να συγκεντρωθεί δεν φθάνει να ικανοποιήσει το αίτημα του Σίσσα.



Πράγματι το σιτάρι που χρειάζονταν ανέρχονταν σε 18.446.744.073.709.551.615 κόκκους, που αυτοί εκπεφρασμένοι σε βάρος, έχοντας υπόψη το βάρος ενός κόκκου ίσο με 0, 053 γραμμάρια, ισοδυναμούσαν στη τεράστια ποσότητα των 977.677.436.907 τόνων!
Ο βασιλιάς δεν ήξερε τι να πρωτοθαυμάσει περισσότερο ,την εφεύρεση του Σίσσα ή την απαίτηση του.

Βραβείο Μαθηματικών από το Ίδρυμα Breakthrough

Ο Christopher Hacon, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Γιούτα, και ο James McKernan, φυσικός του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Σαν Ντιέγκο, κέρδισαν το φετινό Βραβείο Θεμελιωδών Εξελίξεων στα Μαθηματικά γιατί κατάφεραν να αποδείξουν μια μακρόχρονη εικασία σχετικά με το πόσα είδη λύσεων μπορεί να έχει μια πολυωνυμική εξίσωση . 

 Οι μαθηματικοί έδειξαν ότι ακόμη και πολύ πολύπλοκα πολυώνυμα έχουν απλώς ένα πεπερασμένο αριθμό λύσεων.

Δύο μαθηματικοί κέρδισαν το ποσό των 3 εκατομμυρίων δολαρίων για μια απόδειξη που θα μπορέσει μία μέρα να βοηθήσει τους επιστήμονες να κατανοήσουν επιπλέον διαστάσεις. 

Τετράγώνα αριθμών ( Τρόπος εύρεσης )

  Tρόπος με τον οποίο μπορείτε να βρίσκετε τα τετράγωνα αριθμών με 2 τύπους.

 Στους διψήφιους αριθμούς (δηλαδή από 10-99) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους παρακάτω τύπους:

Στην πρώτη φάση έχουμε :  (Α+β) * α
Στην δεύτερη φάση έχουμε :  β * β

Τι σημαίνει τώρα αυτό. Έστω ο αριθμός που θέλουμε να βρούμε το τετράγωνο του είναι ο αριθμός 72.
Τότε Α=72 , α=7 , β=2. Σύμφωνα με τους τύπους έχουμε: (72+2) * 7 = 74 * 7 = 518  και 2 * 2 = 4 . Έχοντας τους αριθμούς 518 και 4 απλά τους κολλάμε και βγαίνει ο αριθμός 5184. Πράγματι αν δοκιμάσετε να πολλαπλασιάσετε 72 επί 72 θα βρείτε αποτέλεσμα 5184.

Τώρα αν το β

Η ομιλία του Μιχάλη Λάμπρου στη Νάουσα για μαθητές με θέμα " Μαθηματικά μαγικά τρικ"

Στην ομιλία  παρουσιάστηκε εν συντομία η ιστορία των Μαθηματικών μαγικών τρικ, από την αρχαιότητα στην σύγχρονη εποχή. Στην συνέχεια  παρουσιάστηκαν  μερικά ενδιαφέροντα τέτοια μαγικά. 

Η ιδέα ήταν να προκληθεί το ενδιαφέρον του μαθητή με σκοπό να αναζητήσει την εξήγηση του τρικ. Στο κύριο μέρος της ομιλίας  δόθηκαν οι Μαθηματικές ερμηνείες των τρικ και οι μαθητές είχαν την ευκαιρία να κατασκευάσουν παρόμοια αλλά με δικούς  τους αριθμούς.

Η ομιλία του Μιχάλη Λάμπρου στη Νάουσα για μαθηματικούς με θέμα " Τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν"

Παρουσιάστηκε  η ενδιαφέρουσα και πολύπλοκη ιστορία ενός θεωρήματος της Γεωμετρίας από την αρχαιότητα μέχρι την σύγχρονη εποχή.
Το γνωστό θεώρημα της Γεωμετρίας ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν δεν υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη αλλά κατά ρητή την μαρτυρία του Πρόκλου, ήταν γνωστό στον Ευκλείδη. Αν και στην αρχαία ελληνική γραμματεία δεν σώζεται καμία απόδειξη του θεωρήματος, είδαμε ότι όχι μόνο ήταν ευρέως γνωστό αλλά ότι μπορούμε να κάνουμε ανασύσταση τουλάχιστον 4 κομψών αρχαίων αποδείξεων οι οποίες υπάρχουν στα συμφραζόμενα σε αρχαίες πηγές όπως στα έργα των Αρχιμήδη, Απολλωνίου, Μενελάου και Πάππου. Μετά την αρχαιότητα το θεώρημα χάνεται μέχρι να επανεμφανιστεί την Αναγέννηση αλλά και πάλι σπάνια συμπεριλαμβανόταν στα βιβλία Γεωμετρίας, ακόμη και τα κορυφαία. Αντίθετα από το περίπου 1880 και μετά εμφανίζεται σε όλα τα βιβλία Γεωμετρίας.
Στην ομιλία είδαμες και μερικές ενδιαφέρουσες αποδείξεις του, κυρίως από Γεωμετρίες πριν το 1700.

Το μαγικό 1089 (τέχνασμα)

Εδώ είναι ένα δροσερό μαθηματικό  μαγικό τέχνασμα .

• Καταγράψτε έναν τριψήφιο αριθμό ψηφίων  τα οποία μειώνονται.
• Στη συνέχεια αντιστρέψτε τα ψηφία για να δημιουργήσετε ένα νέο αριθμό .
• Αφαιρέστε  αυτόν τον αριθμό από τον αρχικό αριθμό. 
• Στον αριθμό που προκύπτει, προσθέστε  αυτόν  που προκύπτει με την αντιστροφή  των ψηφίων του. 
•   Ο αριθμός που θα πάρετε είναι 1089!

Απλά Μαθηματικά προβλήματα για να περάσουμε ευχάριστα την ώρα μας

1. Μία ουσία βρίσκεται σε ένα μπουκάλι και διπλασιάζεται σε όγκο κάθε μέρα. Αν γεμίσει το μπουκάλι σε 30 ημέρες, σε πόσες ημέρες θα έχει γεμίσει το μισό;  

                   
2. Ένα νούφαρο διπλασιάζεται σε εμβαδόν και καλύπτει μια λίμνη σε 30 ημέρες. Δύο νούφαρα σε  πόσες ημέρες θα την καλύψουν;