Μαθηματικά - Μουσική : πορείες παράλληλες

   

Η a priori εποπτεία που διαθέτουμε για τον χρόνο φαίνεται πως αποτελεί τη βάση, την απαρχή τόσο της μουσικής όσο και της μαθηματικής εμπειρίας μας. Η Μουσική αποτελεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα, ίσως το πρώτο, ποσοτικοποίησης ενός ποιοτικού φαινομένου μέσω των Μαθηματικών. Ο ρυθμός και η Αρμονία είναι οι δύο βασικές συνιστώσες κάθε μουσικής έκφρασης. Ο ρυθμός είναι η πρώτη μουσική κατάκτηση για τον άνθρωπο, όπως ακριβώς ο αριθμός είναι η πρώτη, η θεμελιώδης Μαθηματική κατασκευή. Ο ρυθμός και ο αριθμός έχουν κοινή καταγωγή, την οποία έλκουν από την κατάτμηση του χρόνου και την 1-1 αντιστοιχία των χρονικών στιγμών με γεγονότα. Το μουσικό μέτρο, το οποίο είναι απαραίτητο για την εκτέλεση ενός μουσικού θέματος, δηλώνεται μέσω ενός κλάσματος, ενός αριθμού δηλαδή ο οποίος καθοδηγεί το ρυθμό. Η αρμονία Μαθηματικοποιείται και ερμηνεύεται μέσα σε ένα πλήθος από μεταφυσικές δοξασίες, από τους Πυθαγόρειους και καθορίζει, μέχρι τον Μεσαίωνα, την αντίληψη που έχουμε για το τι σημαίνει αρμονία. Η σύγχρονη αντίληψη για την αρμονία προκύπτει μέσα από τη χρήση ενός ισχυρότατου Μαθηματικού "εργαλείου", της ανάλυσης Fourier. Κάθε περιοδικό φαινόμενο, επομένως και η μουσική νότα, μπορεί να εκφραστεί από ένα αλγεβρικό άθροισμα αρμονικών συνιστωσών. Η αρμονία πλέον δύο μουσικών τόνων καθορίζεται από το πλήθος των αρμονικών συνιστωσών οι οποίες συμπίπτουν. Θα αναζητήσουμε τη σύνδεση των Μαθηματικών με τη Μουσική στις δύο βασικές συνιστώσες της Μουσικής που είναι ο Ρυθμός και η Αρμονία.

Ρυθμός - Αριθμός
 

Η πρώτη συνάντηση της Μουσικής με τα Μαθηματικά συντελείται μέσω της αίσθησης που έχουμε για τον χρόνο. Ο άνθρωπος διαθέτει την ικανότητα να εντοπίζει, να απομονώνει χρονικές στιγμές. Το διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο στιγμών συγκροτεί την έννοια της διάρκειας. Η κατάτμηση που υφίσταται ο χρόνος από τη ροή των γεγονότων δημιουργεί ένα πυκνό σύνολο από στιγμές. Κατά τον Bachelard η διάρκεια είναι ένας αριθμός, μονάδα του οποίου είναι η στιγμή(G.Bachelard 1997).

Αν θεωρήσουμε σαν αφετηρία τα παραπάνω μπορούμε να ανιχνεύσουμε όλες εκείνες τις ενδείξεις που έχουμε για το ότι ο Ρυθμός και ο Αριθμός έχουν κοινή καταγωγή. Τις ενδείξεις αυτές θα εντοπίσουμε τόσο στην Ιστορία όσο και στην Ψυχολογία.

Ο Ανθρωπολόγος G. Murdock(1986) αναφέρει πως υπάρχουν 72 στοιχεία που είναι κοινά σε όλους τους πολιτισμούς, μεταξύ δε αυτών είναι τα σύμβολα της αρίθμησης και η μουσική.

Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει μουσική από τους προϊστορικούς ήδη χρόνους. Οι Garland και Kahn(1995) αναφέρουν πως θεωρείται πλέον γεγονός το ότι οι πρώτες μουσικές επιδόσεις του ανθρώπου προηγούνται της ομιλίας. Το αρχαιότερο εύρημα που έχει σχέση με τις μουσικές συνήθειες των ανθρώπων έχει ηλικία 35.000 χρόνων και είναι οστά από μαμούθ τα οποία, κατά τους αρχαιολόγους, χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή ήχων προφανώς ρυθμικών. Ο ρυθμός, λοιπόν, είναι το πρώτο είδος μουσικής που χρησιμοποίησε ο άνθρωπος.

Στο χώρο των Μαθηματικών τώρα, η πρώτη Μαθηματική έννοια που είχε αρχίσει από νωρίς να κατασκευάζεται στο νου του ανθρώπου ήταν αυτή του αριθμού. Η άποψη αυτή διαθέτει ένα ισχυρότατο έρεισμα, το οποίο προέρχεται από τη μελέτη του τρόπου με τον οποίο το παιδί, από την προσχολική ήδη ηλικία, αναπτύσσει σταδιακά την έννοια του αριθμού. Σύγχρονοι ερευνητές όπως οι Gelman και Gallistei(1982) υποστηρίζουν ότι η πρώτη, η στοιχειώδης ικανότητα του παιδιού η οποία σχετίζεται με τα Μαθηματικά είναι αυτή της αρίθμησης. Το παιδί μέσω της έμφυτης ικανότητας κατάτμησης του χρόνου, δημιουργεί μία 1-1 αντιστοιχία των γεγονότων με τις χρονικές στιγμές, δηλαδή ουσιαστικά αριθμεί. Το ίδιο υποστηρίζει και ο D. Tall(1991) αναφέροντας ότι το παιδί κατ' αρχάς αριθμεί χωρίς την έννοια του αριθμού. Αυτό είναι φανερό από τα λάθη που κάνει το παιδί της μορφής: ένα, δύο, τέσσερα, επτά ... και τα οποία λάθη ερμηνεύονται από την υπόθεση ότι το παιδί στην αρχή χρησιμοποιεί απλά τα ονόματα των αριθμών, τα οποία θέτει σε μια 1-1 αντιστοιχία με τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες τα "απαγγέλλει". (Σημείωση: Ο Wilder(1986) υποστηρίζει ότι η αρίθμηση αποτελεί μία πολιτιστική αναγκαιότητα, ένα καθολικό στοιχείο πολιτισμού. Η μέτρηση φαίνεται να οδηγεί στην έννοια του αριθμού μέσω της χρήσης συμβόλων, τα οποία στην αρχή αναπαριστούσαν απλά και εποπτικά την πορεία της αρίθμησης | για το 1, || για το 2, ||| για το 3 και εδώ έχουμε μία ισχυρότατη ένδειξη της κοινής πορείας του ανθρώπου προς τις ιδέες του αριθμού και του ρυθμού). Συνοψίζοντας μπορούμε πλέον βάσιμα να υποστηρίξουμε ότι οι δύο πρωταρχικές, θεμελιώδεις έννοιες του ρυθμού και του αριθμού έχουν κοινή καταγωγή την οποία έλκουν από την κατάτμηση του χρόνου, μέσω της διαστημοποίησης της διάρκειας, και την 1-1 αντιστοιχία.

Σήμερα οι δύο αυτές έννοιες συνυπάρχουν στον τρόπο με τον οποίο γράφεται η Δυτική μουσική. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Στο σχήμα φαίνεται ένα μέρος ενός μουσικού κομματιού.

Η χρονική αξία τoυ πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι 1/4 και 1/2 αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες) που είναι ενωμένα έχουν εξ ορισμού αξία 1/8. Το κλάσμα 4/4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα δηλαδή το οποίο περιέχει μία μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4/4. Πράγματι 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Τώρα πλέον ο αριθμός καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς.

Τα όσα περιγράψαμε μέχρι τώρα θα μπορούσαν να αναπαρασταθούν στο παρακάτω σχήμα:

Η Αρμονία
 

Η μουσική είναι, ίσως, το πρώτο ποιοτικό φαινόμενο το οποίο Μαθηματικοποιεί ο άνθρωπος. Η μουσική θα έπρεπε να εκφραστεί με μετρήσιμα μεγέθη και αυτό γίνεται σταδιακά και συναρτάται μόνιμα με το είδος και το επίπεδο της Μαθηματικής γνώσης κάθε εποχής.

Η Πυθαγόρεια άποψη.
 

Η πρώτη συστηματική αλλά συγχρόνως και καθοριστική προσπάθεια υπαγωγής του φαινομένου της μουσικής σε Μαθηματικές σχέσεις γίνεται από τον Πυθαγόρα.

Δύο βασικά ερωτήματα απασχολούν τους Πυθαγόρειους: α) Πότε δύο ήχοι (νότες) συνηχούν αρμονικά, β) Ποια είναι η βαθύτερη αιτία αυτής της αρμονικής συνήχησης. Ήδη είχε τεθεί ρητά το πρόβλημα της αρμονίας.

Στο πρώτο ερώτημα η απάντηση φαίνεται να προέρχεται μέσα από την παρατήρηση και το πείραμα, τις δύο βασικές δηλαδή επιστημονικές δραστηριότητες, οι οποίες οδηγούν στη διατύπωση του πρώτου νόμου στον οποίο υπακούει η αρμονία. "Όταν δύο χορδές έχουν μήκη ανάλογα με δύο από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε συνηχούν αρμονικά". Έτσι κατασκευάζεται η περίφημη Πυθαγόρεια κλίμακα η οποία χρησιμοποιήθηκε για πολλούς αιώνες σαν φυσική κλίμακα μουσικής σύνθεσης.

Η εξήγηση αυτού του φαινομένου στηρίζεται, κατά τους Πυθαγόρειους, στις μεταφυσικές ιδιότητες που έχουν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4 (τετρακτύς) και εδώ θα πρέπει να υπογραμμιστεί το γεγονός ότι το βασικό υπολογιστικό εργαλείο της εποχής είναι οι ακέραιοι και τα κλάσματά τους (ρητοί), έτσι οι ερμηνείες των φαινομένων που μελετούσαν θα έπρεπε να δομηθούν μέσα στα πλαίσια της Αριθμοθεωρίας των ρητών. Η αρμονία επιβάλλεται, κατά κάποιον τρόπο, από τους λόγους που προέρχονται από την τετρακτό δηλαδή από τα 2/3, 3/4, 2/4, 1/2 κλπ.12

Το αξιοσημείωτο είναι ότι και οι Κινέζοι φιλόσοφοι της εποχής του Κομφούκιου θεωρούσαν τους μικρούς αριθμούς 1, 2, 3, 4 σαν την ουσία της τελειότητας(J.Jeans 1968). Ο Euler, το 1738 επιχειρεί μία νέα εξήγηση για την προέλευση της αρμονίας. Έχουμε, λέει ο Euler, έμφυτη την τάση να αισθανόμαστε ικανοποίηση όταν ανακαλύπτουμε κάποια κανονικότητα ή νόμο. Η απλούστερη, άρα και η ευκολότερα αντιληπτή, κανονικότητα είναι αυτή η οποία στηρίζεται στους λόγους των απλών αριθμών 1, 2, 3, 4(J.Jeans 1968).. Ο Euler ουσιαστικά συμφωνεί με την Πυθαγόρεια άποψη και την στηρίζει σε μία περισσότερο ρεαλιστική βάση.

Η πορεία προς τις σύγχρονες αντιλήψεις.
 

Η Πυθαγόρεια προσέγγιση των αρμονικών συνηχήσεων μέσω της μελέτης των αριθμητικών σχέσεων δύο ήχων συνεχίστηκε ως τον Μεσαίωνα. Η Μουσική αντιμετωπίστηκε σαν ένας κλάδος της εφαρμοσμένης αριθμητικής και η musica ήταν μία από τις τέσσερις ακαδημαϊκές σπουδές του quadrivium, των τεσσάρων δηλαδή κλάδων των Μαθηματικών (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία και μουσική) (Eli Maor 1998).

Η αποδέσμευση της μελέτης των Μουσικών φαινομένων από την Πυθαγόρεια παράδοση γίνεται αργά, σταδιακά και πραγματοποιείται μέσα σε ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο, ιστορικό, κοινωνικό και πολιτισμικό πλαίσιο το οποίο, έστω και επιγραμματικά, θα πρέπει να περιγράψουμε. Η ανάπτυξη της ναυσιπλοΐας τον 16ου αιώνα, μετά την ανακάλυψη του Νέου Κόσμου, δημιουργεί νέες απαιτήσεις για μεγαλύτερη ακρίβεια στις μετρήσεις και ιδιαίτερα στην κατασκευή αξιόπιστων ωρολογίων. Το ενδιαφέρον των Φυσικών και των Μαθηματικών στρέφεται προς τη μελέτη της κίνησης του εκκρεμούς και ο Christian Huygens ανακαλύπτει το βασικό νόμο του εκκρεμούς, ότι δηλαδή η περίοδος του εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από την κινούσα δύναμη (Eli Maor 1998).. Ο δρόμος για νέες τεχνολογικές εφαρμογές ανοίγει και επηρεάζει τον τρόπο κατασκευής μουσικών οργάνων και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τη στροφή των επιστημόνων προς τη μελέτη παλμικών κινήσεων. Η στροφή αυτή είναι καταλυτική για την έρευνα των Μουσικών φαινομένων η οποία προσανατολίζεται πλέον προς τη μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων ενώ, όπως είδαμε, οι Πυθαγόρειοι ασχολήθηκαν με τις αριθμητικές σχέσεις των ήχων.

Βρισκόμαστε στα μέσα περίπου του 17ου αιώνα. Η μελέτη των παλμικών κινήσεων οδηγεί στην συγκρότηση της μαθηματικής έννοιας των περιοδικών φαινομένων και η Τριγωνομετρία στρέφεται πλέον από την παραδοσιακά υπολογιστική της στάση σε μια περισσότερο αναλυτική θεώρηση. Η στροφή αυτή διαρκεί περίπου έναν αιώνα, από το 1640 όταν ο W. Oughtred επιχειρεί μια συστηματική χρήση των συμβόλων sin, cos κλπ., μέχρι το 1759 όταν ο G. Kustner σε έναν οποιονδήποτε αριθμό x αντιστοιχεί την έκφραση sinx, cosx κ.λπ. και θεωρεί πλέον τις συναρτήσεις f(x)= sinx, x, g(x)=cosx, x, κ.ο.κ.

Η μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων είναι πλέον εφικτή και σηματοδοτεί τον μετασχηματισμό των απόψεων για τη μουσική και τη φύση της αρμονίας.

Η μελέτη επικεντρώνεται στο φαινόμενο, το οποίο είχε μελετήσει και ο Πυθαγόρας, στην προσπάθειά του να κατανοήσει την ουσία της αρμονίας, το φαινόμενο της παλλόμενης χορδής.

Η μελέτη του προβλήματος αυτού οδηγεί σε μια διαφορική εξίσωση της μορφής

η οποία προκύπτει από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση(G.P.Tolstov 1962) όπου u(x,t) είναι η απομάκρυνση του σημείου της χορδής με τετμημένη x κατά τη χρονική στιγμή t και α μία σταθερά που εξαρτάται από τη μάζα και την τάση της χορδής.

Στο σημείο αυτό θα κάνουμε δύο σημαντικές επισημάνσεις:

1. Ο Πυθαγόρας μελέτησε τον ήχο που παράγεται από μια χορδή χωρίς να συνυπολογίσει τις παραμέτρους της τάσης και της μάζας της χορδής αφού τα Μαθηματικά εργαλεία της εποχής του δεν επέτρεπαν κάτι τέτοιο.
2. Διάσημοι Μαθηματικοί όπως ο Euler, o D'Alembert και ο Langrange επιχείρησαν να λύσουν της εξίσωση της παλλόμενης χορδής. Ο Daniel Bernoulli βρήκε μια λύση μέσω μιας σειράς τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτός όμως που ανέδειξε τη γενική λύση του προβλήματος της παλλόμενης χορδής ήταν ο Fourier το έτος 1822 με το έργο του "Theorie analytique de la chaleur".

Ανάλυση Fourier.
 

Για να κατανοήσουμε τη σημασία της ανάλυσης Fourier για τη σύγχρονη άποψη περί αρμονίας, θα επισημάνουμε μερικές απλές ιδιότητες των περιοδικών συναρτήσεων.

1. Αν f, g δύο περιοδικές συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού τότε η συνάρτηση f +g είναι περιοδική συνάρτηση της αυτής περιόδου.
2. Αν f περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ, τότε f(x + k*T) = f(x), κ=0,1,2...

Αυτές ακριβώς οι βασικές ιδιότητες των περιοδικών συναρτήσεων ερμηνεύουν το γεγονός ότι αν συνηχούν δύο νότες και η μία έχει διπλάσια συχνότητα από την άλλη, τότε έχουμε την αίσθηση ότι ακούμε την ίδια νότα. Είναι απλό να διαπιστώσει κανείς την ισχύ αυτού που αναφέραμε αρκεί να πατήσει συγχρόνως την νότα Ντο, για παράδειγμα της 3^ης οκτάβας ενός πιάνου και τη νότα Ντο της 4^ης ή της 5^ης ή της 2^ης οκτάβας. Εδώ το ανθρώπινο αυτί συμπεριφέρεται σαν ένας μηχανισμός σύνθεσης (πρόσθεσης) των δύο περιοδικών φαινομένων.

Η προσφορά του Fourier στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων στηρίζεται ουσιαστικά σε μια γενικευμένη αντιστροφή της ιδιότητας (1), η οποία αντιστροφή δεν έχει ιδιαίτερα επισημανθεί.

Είδαμε ότι το άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων είναι μία περιοδική συνάρτηση. Το ερώτημα τώρα που τίθεται είναι: Αν έχουμε μια περιοδική συνάρτηση είναι δυνατόν να την αναλύσουμε σε άθροισμα άλλων απλούστερων περιοδικών;

Ο Fourier απαντά καταφατικά και αποδεικνύει ότι κάθε περιοδική συνάρτηση f είναι δυνατόν να αναλυθεί σε ένα άπειρο άθροισμα της μορφής

F(x)=
για κάθε x(-π, π) με συντελεστές :



και

Με τη βοήθεια της ανάλυσης κατά Fourier είναι πλέον δυνατόν να λυθεί η διαφορική εξίσωση της παλλόμενης χορδής,(G.Tolstov 1962) η δε λύση της να περιγραφεί από την ισότητα:

(ε) : U(x,t)=

με

An =

Bn =

όταν

F(x)=u(x,o) και g(x)=

Ας υποθέσουμε τώρα ότι, μέσω ενός μουσικού οργάνου ή της ανθρώπινης φωνής παράγουμε μια νότα. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε δημιουργήσει στον αέρα μια παλμική κίνηση, ένα περιοδικό φαινόμενο και επομένως το φαινόμενο αυτό (η νότα) περιγράφεται από μια εξίσωση της μορφής (1), από ένα άπειρο άθροισμα προσθετέων· δηλαδή καθένας εκ των οποίων περιέχει ημίτονα και συνημίτονα της μορφής cosω.t, sinω.t, cos2ω.t, sin2ω.t και γενικά cos(nωt) και sin(nωt). Αυτό σημαίνει ότι ένα μουσικό όργανο, όταν "παίζει" μία νότα, παράγει ήχους διαφόρων συχνοτήτων και για n=1 έχουμε τη βασική συχνότητα της νότας ενώ οι συχνότητες που προκύπτουν για n= 2, 3... είναι οι αρμονικές συνιστώσες της εν λόγω νότας.

Η επιστημονική κοινότητα στις αρχές του 19^ου αιώνα δέχεται με σκεπτικισμό τις απόψεις του Fourier και ιδιαίτερα τις επιπτώσεις αυτών των απόψεων πάνω στο φαινόμενο της μουσικής.

Ο von Helmholtz ανεγνώρισε αμέσως την αξία αυτών που υποστήριζε ο Fourier. Ο Helmholtz κατασκεύασε μικρές σφαιρικές μπάλες από γυαλί με δύο οπές. Κάθε μια από τις γυάλινες αυτές σφαίρες μπορούσε να απομονώσει μία μόνο αρμονική συνιστώσα ενός μουσικού τόνου ο οποίος εισήρχετο από τη μία οπή και με τον τρόπο αυτό από την άλλη οπή εξήρχετο η συγκεκριμένη αρμονική συνιστώσα.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη που παράγεται από τη νότα Ρε ενός φλάουτου καθώς και οι αρμονικές της συνιστώσες sinx, 1/2sin2x, 1/3sin3x. (Από το βιβλίο Science & Music)

Η νότα Ρε όπως παράγεται από ένα φλάουτο.



Οι αρμονικές συνιστώσες της νότας Ρε από το ίδιο φλάουτο

Παρατηρούμε ότι οι αρμονικές είναι μόνο 3 γι' αυτό ο ήχος του φλάουτου είναι τόσο απλός.

Η σύγχρονη άποψη για την αρμονία.
 

Η μελέτη των μουσικών φαινομένων μέσω της ανάλυσης Fourier δημιουργεί νέες δυνατότητες προσέγγισης της αρμονικής συνήχησης δύο μουσικών τόνων μέσω μιας καθαρά επιστημονικής ερμηνείας της.

Όταν δυο νότες συνηχούν, η αρμονία ή η δυσαρμονία που παράγεται οφείλεται στην σύμπτωση ή μη αρμονικών τους συνιστωσών. Συγκεκριμένα: Αν σε ένα πιάνο "παίζουμε" την συγχορδία Ντο Μι Σολ Ντο τότε έχουμε το αίσθημα της δυσαρμονίας(J.Jeans 1968). Οι αρμονικές συνιστώσες κάθε νότας που παράγονται από το πιάνο είναι πολλές και δεν συμπίπτουν με αυτές που προέρχονται από τις άλλες νότες της συγχορδίας. Αν η ίδια συγχορδία ακουστεί από ένα φλάουτο τότε η αίσθηση της δυσαρμονίας δεν υπάρχει και αυτό γιατί, όπως είδαμε προηγουμένως, οι αρμονικές συνιστώσες οι οποίες παράγονται από ένα φλάουτο είναι ελάχιστες έως μόνο μία.

Είναι αλήθεια ότι η ερμηνεία αυτή όταν προτάθηκε από τον Helmholtz το 1862 προκάλεσε πλήθος συζητήσεων και κριτικών αλλά χωρίς υπερβολή θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι είναι σήμερα η επικρατέστερη.

Θα ήταν παράλειψη να μην αναφέρουμε τον κεντρικό ρόλο της λειτουργίας της ανθρώπινης ακοής στο αίσθημα της αρμονίας ή της δυσαρμονίας. Το ανθρώπινο αυτί, κατά τους ειδικούς, αποτελεί έναν πολύ καλό αναλυτή Fourier. Τα άτομα που είναι προικισμένα με ιδιαίτερες μουσικές ικανότητες έχουν την ευχέρεια να αντιλαμβάνονται τις αρμονικές συνιστώσες μιας νότας. Αντίθετα το ανθρώπινο μάτι αδυνατεί να αναλύσει το λευκό φως στο φάσμα του.

Επίλογος
 

Η Μουσική είναι ένα ποιοτικό φαινόμενο όπως η αίσθηση του ωραίου, της ανάμνησης και της λήθης, του ευχάριστου και του δυσάρεστου. Η ιστορία του Δυτικού κόσμου συνδέεται άμεσα, τους τρεις τελευταίους αιώνες, με την προσπάθεια υπαγωγής όλων των ποιοτικών φαινομένων σε ποσότητες εφόσον έτσι γίνονται τα φαινόμενα αυτά ελέγξιμα, ερμηνεύσιμα, αντικειμενικά. Κάθε εσωτερική αίσθηση μπορεί πλέον να γίνει εικόνα, να βγει στο χώρο. . Η αίσθηση του κόκκινου χρώματος οφείλεται σε κάποιο μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας και οι νότες γίνονται καμπύλες κινούμενες σε έναν παλμογράφο. Ένας συνεχής μετασχηματισμός συντελείται ο οποίος μεταμορφώνει το υποκειμενικό σε αντικειμενικό και ο καταλύτης σε αυτόν το μετασχηματισμό φαίνεται πως είναι τα Μαθηματικά.