Η προσέγγιση της άλγεβρας μέσω των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων

Ειδικότερα, στην κατανόηση της έννοιας των συναρτήσεων, οι γραφικές τους παραστάσεις αποτελούν ένα σημαντικό εργαλείο ώστε να διαμορφώσουμε τη διδασκαλία των μαθηματικών. Για παράδειγμα θα ήταν αρκετά περισσότερες οι πληροφορίες στο μυαλό ενός μαθητή για την έννοια της ρίζας μιας εξίσωσης αν στο μυαλό του αυτό μεταφράζονταν εξ ορισμού με τη συντεταγμένη των σημείων στο οποία το γράφημα κόβει τον οριζόντιο άξονα. Θα ήταν πολύ πιο εύκολο γι’ αυτόν να θυμάται την έννοια αυτή (και ταυτόχρονα και τη λειτουργία της) ως μια εικόνα.


– Οι λύσεις μια εξίσωσης θα είχε μεγαλύτερο νόημα αν αντιμετωπίζονταν ως τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων του πρώτου και δεύτερου μέλους της ισότητας.

– Τα ισοδύναμα βήματα κατά τη διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης θα είχαν περισσότερο νόημα για τον μαθητή αν αντιμετωπίζονταν ως τα γραφήματα δύο διαφορετικών συναρτήσεων κάθε φορά, που όμως έχουν σημεία τομής με ίδια οριζόντια συντεταγμένη. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειώσουμε το συνηθισμένο λάθος των μαθητών να χρησιμοποιούν το σύμβολο της ισότητας εκεί που θα έπρεπε να υπάρχει το σύμβολο της ισοδυναμίας μεταξύ των αλγεβρικών μετασχηματισμών, και το ανάποδο. Το σύμβολο της ισοδυναμίας είναι στο μυαλό τους ταυτόσημο με το = γιατί ακριβώς δεν έχουν πουθενά δει το λόγο για τον οποίο υπάρχει. Και μπορούν να το δουν μέσα από γεωμετρικούς μετασχηματισμούς οι οποίοι μεταφράζουν τους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και οι οποίοι είναι ισοδύναμοι (δηλαδή δίνουν όλοι μαζί ίδια τετμημένη ως στο σημείο τομής των γραφημάτων.

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν μορφή που μπορούμε να δούμε (ευθείες, σταθερές ή με μικρή κλίση και άλλες πιο απότομες, καμπύλες με γωνίες και άλλες πιο ομαλές) και εύκολα μπορεί να τις χειριστεί κάποιος δρώντας στις έννοιες αυτές περιστρέφοντας, μετακινώντας τες, με ανάκλαση τους ως προς άξονες και σημεία ή απλά με το να ακολουθεί την τροχιά τους (tracing), ή βρίσκοντας το εμβαδόν κάτω από αυτές, ή συγκρίνοντας τες μεταξύ τους. Επιστρατεύεται έτσι η όραση στην εκτέλεση μαθηματικών συλλογισμών. Όμως σε κάποιο σημείο κάπου ανάμεσα στην παρατήρηση και το συλλογισμό οι εικόνες δίνουν το λόγο στις ιδέες (Pinker). Ακόμα και οι επιστήμονες-ερευνητές κατά τη σύλληψη αφηρημένων μαθηματικών σχέσεων, τις αποτυπώνουν κάνοντας ένα προσχέδιο τους στο χαρτί ως μορφές δύο, ή τριών διαστάσεων. Η δυνατότητα αφηρημένων συλλογισμών που έχουμε ως είδος συνέλαβε την ιδέα του συστήματος συντεταγμένων και έδωσε νέες δυνατότητες και εργαλεία για να δουλέψουμε με τις αφηρημένες έννοιες μέσω ενός καλά οργανωμένου συστήματος οπτικής αναπαράστασης των συμβόλων (Schacter).

Στην προσέγγιση της άλγεβρας μέσα από συναρτήσεις, με τη βοήθεια της τεχνολογίας των υπολογιστών γραφικών υπάρχει η δυνατότητα να παρουσιαστούν τα αντικείμενα και οι έννοιες της άλγεβρας με εικόνες (οι οποίες βοηθούν τη μνήμη) αλλά και αριθμητικές τιμές και να γίνουν συνδέσεις μεταξύ περισσότερων αναπαραστάσεων. Ακόμα σημαντικότερο είναι το γεγονός ότι οι συνδέσεις αυτές χρησιμοποιούνται με ουσιαστικό τρόπο κατά τη διδασκαλία και δεν είναι απλά κάτι παραπάνω στη θεωρία που πρέπει οι μαθητές να «μάθουν» - αποστηθίζοντας με κάποιον τρόπο. Μπορούν έτσι να χρησιμοποιήσουν τη γνώση αυτή για την κωδικοποίηση ακόμα περισσότερων πληροφοριών και την οργάνωση τους σε συμπαγή γνωστικά σχήματα.