Μέγιστο τρίγωνο

Το παρακάτω πρόβλημα ήταν γνωστό (όπως πιθανότατα και η λύση του) από την εποχή του Πλάτωνα. Η παρακάτω λύση θα μπορούσε να είχε δοθεί από τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς παρ' όλα αυτά δεν έχει βρεθεί σε κανένα κείμενο. 

Το πρόβλημα

Ζητάμε να βρούμε το "μεγαλύτερο" τρίγωνο (με την έννοια του ότι έχει τη μεγαλύτερη επιφάνεια) που είναι εγγεγραμμένο σε δεδομένο κύκλο.

Λύση

Ας είναι ΑΒΓ ένα (μη-ισόπλευρο) τρίγωνο εγγεγραμμένο σε δεδομένο κύκλο. Οι τρεις κορυφές του τριγώνου χωρίζουν την περιφέρεια του κύκλου σε τρία τόξα. Από τα τόξα αυτά το ένα σίγουρα είναι μικρότερο από 120° (δεν μπορεί και τα τρία να είναι >120°) και ένα άλλο είναι σίγουρα μεγαλύτερο απο 120° (δεν μπορεί και τα τρία τόξα να είναι <120°). Ας είναι AB<120° και ΒΓ>120° (Σχ. 1β)

(α) Ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.	(β) Αυθαίρετο (μη-ισόπλευρο) τρίγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.
Σχήμα 1. Υπενθυμίζεται ότι γωνία 60° αντιστοιχεί σε τόξο 120°. Π.χ. A0=60° αλλά το τόξο Β0Γ0=120°

Σχήμα 2.

Πάνω στο τόξο ΒΓ παίρνουμε τόξο ΓΒ'' = ΑΒ(<120°). Επίσης παίρνουμε τόξο ΑΒ'=120° προς την ίδια κατεύθυνση με το Β.

Το κρίσιμο σημείο
Ισχυριζόμαστε ότι το Β' βρίσκεται ανάμεσα στο Β και το Β'':

• είναι μετά από το B αφού ΑΒ'=120°>AB.
• είναι πριν από το Β'', διότι αν ήταν μετά τότε θα είχαμε για το τόξο ΑΒ'>ΑΒ''=ΒΓ (λόγω της ισότητας των τριγώνων ΑΒΓ, ΑΒ''Γ). Όμως τότε θα είχαμε 120°=ΑΒ'>ΒΓ>120° το οποίο είναι άτοπο.

Τώρα αφού το Β' βρίσκεται ανάμεσα στα Β και Β'', είναι πιο μακριά από την ΑΓ από ότι το Β. Δηλαδή ενώ τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ'Γ έχουν κοινή βάση το ΑΓ, το αντίστοιχο ύψος του ΑΒ''Γ είναι μεγαλύτερο από αυτό του ΑΒΓ συνεπώς (ΑΒ''Γ)>(ΑΒΓ). Δηλαδή βρήκαμε ένα άλλο εγγεγραμμένο στον κύκλο τρίγωνο (το ΑΒ'Γ) το οποίο έχει μία κοινή πλευρά με το αρχικό και μία γωνία (τη Γ) ίση με 60°.

Αν ανακεφαλαιώσουμε αυτό που κάναμε προηγουμένως είναι ότι διορθώνοντας την κορυφή Β (την τοποθετήσαμε στην Β΄), ώστε η γωνία ΑΓΒ' να είναι 60°, καταλήξαμε να έχουμε ένα "μεγαλύτερο" τρίγωνο από το αρχικό.

Το τέλος
Αν το τρίγωνο ΑΒ'Γ είναι ισόπλευρο, τότε τελειώσαμε. (Αποδείξαμε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι μεγαλύτερο από το αυθαίρετο τρίγωνο που είχαμε αρχικά και φυσικά όλα τα ισόπλευρα τα εγγεγραμμένα σε δεδομένο κύκλο έχουν το ίδιο εμβαδό.)

Αν το τρίγωνο ΑΒ'Γ δεν είναι ισόπλευρο τότε επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία με τη διαφορά ότι θεωρούμε ως βάση την ΑΒ' και θα διορθώσουμε την κορυφή Γ σε μία άλλη κορυφή Γ', ώστε η γωνία Α=60° (ή η Β'=60°). Το νέο τρίγωνο ΑΒ'Γ' είναι ισόπλευρο και θα είναι "μεγαλύτερο" από το ΑΒ'Γ για τους ίδιους λόγους που το ΑΒ'Γ ήταν "μεγαλύτερο" από το ΑΒΓ.