Το μαθηματικό παράδοξο των Πυθαγορείων

Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε στη Σάμο και πέθανε στο Μεταπόντιον της κάτω Ιταλίας, κατά την διάρκεια του 5ου αιώνα π.Χ. Στην πόλη Κρότωνα της κάτω Ιταλίας, ίδρυσε την περίφημη σχολή του, η οποία είχε επιστημονικό και θρησκευτικό χαρακτήρα. Η σχολή ακολουθούσε αυστηρούς κώδικες μυστικότητας και παρήγαγε μαθηματικό έργο, και όχι μόνο, γύρω στα 150 χρόνια.
 Η εισαγωγή στη σχολή δεν ήταν καθόλου εύκολη υπόθεση. Κατ΄αρχήν ο υποψήφιος έπρεπε να μπορεί «να κρατάει το στόμα του κλειστό», πράγμα ιδιαίτερα δύσκολο για τους σημερινούς Έλληνες. Η δοκιμασία, κατά τη διάρκεια της οποίας άκουγαν μόνο τον Πυθαγόρα, χωρίς να τον βλέπουν, διαρκούσε 5 ολόκληρα χρόνια! Στη συνέχεια άκουγαν συμπεράσματα, χωρίς αποδείξεις (ακουσματικοί) και επιτέλους στο τέλος μάθαιναν και τις αποδείξεις (μαθηματικοί).
Η μετάδοση των γνώσεων γίνονταν πάντοτε προφορικά. Ο Πυθαγόρας δεν άφησε τίποτε γραπτό. Αυτά καλό είναι να έχουν υπόψη τους οι σημερινοί υποψήφιοι, οι οποίοι διαμαρτύρονται για την δυσκολία εισαγωγής τους στα Πανεπιστήμια.
   Για τους Πυθαγόρειους, βασικό δόγμα είναι ότι κάθε πράγμα εκφράζεται με αριθμό. Η ουσία όλων των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις. Προσπαθούν να εξηγήσουν τη δημιουργία του σύμπαντος με τη βοήθεια των παντοδύναμων αριθμών. Σημειώνουμε ότι την εποχή αυτή γνωστοί αριθμοί είναι οι θετικοί, ακέραιοι και κλάσματα. Με τη σημερινή ορολογία θα λέγαμε οι θετικοί ρητοί. 
Ξαφνικά, στις τάξεις των Πυθαγορείων, βρέθηκε μέγεθος που δεν είναι δυνατό να μετρηθεί, να εκφραστεί με αριθμό. Πρόκειται για τη διαγώνιο τετραγώνου με πλευρά ίση 1. Η αδυναμία έκφρασης του μεγέθους με αριθμό αποδείχθηκε πλήρως με μια ιδιοφυή, για την εποχή, μέθοδο, η οποία παρατίθεται παρακάτω.
 Για τους όχι αρκετά μυημένους στα μαθηματικά, παραθέτουμε μια σειρά προτάσεων οι οποίες έχουν διατυπωθεί από τους Πυθαγορείους. Για τους καλύτερα καταρτισμένους, ίσως θεωρηθούν αστείες, πρέπει όμως να σκεφτούν ότι είμαστε στον 5 αιώνα π.Χ. Έχουμε λοιπόν:
άρτιος ή ζυγός λέγεται κάθε αριθμός που διαιρείται ακριβώς με το 2, δηλαδή έχει τη μορφή 2κ. Περιττός ή μονός λέγεται κάθε αριθμός που δεν διαιρείται ακριβώς με το 2. Έτσι, λοιπόν οι αριθμοί ταξινομούνται σε άρτιους και περιττούς.
Αν το τετράγωνο ενός αριθμού είναι άρτιος, τότε και ο αριθμός είναι άρτιος.

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. Πρόκειται για το γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο με την ευκαιρία κακώς αποδίδεται στον Πυθαγόρα, αφού υπάρχουν σαφείς αποδείξεις ότι έχει διατυπωθεί πολύ παλαιότερα από τους Βαβυλώνιους. Η πατρότητα, όμως, της απόδειξης του θεωρήματος, ανήκει στον Πυθαγόρα. 

Απόδειξη. Έστω χ η διαγώνιος του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με 1, τότε από το γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε χ² = 1²+1² Þ χ² = 2.
Δηλαδή ένας αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με 2! Ποιος αριθμός είναι αυτός;
Έστω ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός χ =α / β. Το κλάσμα θεωρείται ανάγωγο, δηλαδή δεν απλοποιείται, με άλλα λόγια δεν υπάρχει αριθμός που να διαιρεί ταυτόχρονα και τους δύο όρους α και β. Αν το κλάσμα δεν είναι ανάγωγο το μετατρέπουμε σε ανάγωγο.  Έχουμε:
 (α/β)² = 2 Þ α² = 2β² Þ ο α² είναι άρτιος Þ ο α είναι άρτιος Þ α = 2γ Þ α² = 4γ². Αντικαθιστώντας, όπου α² = 2β², προκύπτει:
2β² = 4γ² Þ β² = 2γ² Þ  ο β² είναι επίσης άρτιος Þ ο β είναι άρτιος.
Δηλαδή οι α, β είναι ταυτόχρονα άρτιοι. Αν όμως συμβαίνει αυτό, τότε το κλάσμα α/β, δεν είναι ανάγωγο, πράγμα άτοπο. Τελικά, σε κάθε περίπτωση καταλήγουμε σε άτοπο, επομένως δεν υπάρχει αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με 2.

Η αρμονία των αριθμών κλονίζεται επικίνδυνα. Η αυτοκρατορία των γνωστών αριθμών δέχεται βάρβαρη επίθεση και μάλιστα τεκμηριωμένη. Ο Ίππασος ο Μεταπόντινος, τολμάει να παραβεί τη βασική αρχή της Σχολής και διαδίδει τα δυσάρεστα νέα έξω από τις τάξεις των Πυθαγορείων. Ο Ίππασος χάνεται μυστηριωδώς σε ένα ναυάγιο. Σας θυμίζει τίποτε;
Πρόκειται για το πρώτο ερέθισμα που οδήγησε στη γέννηση των αρρήτων αριθμών. Το μήκος της διαγωνίου ασφαλώς και υπάρχει, μόνο δεν είναι από εκείνους, που είναι γνωστοί στην εποχή των Πυθαγορείων. Το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με