Φιλοσοφία των Μαθηματικών !!!

Tα Μαθηματικά τα δημιούργησε ο Θεός και η φύση ή τα επινόησαν οι άνθρωποι για να περιγράψουν τον κόσμο; Τα μαθηματικά εξηγούν τελικά τη φύση, κάτι λιγότερο, ή κάτι περισσότερο από αυτή;

Κατά τις τελευταίες δεκαετίες διαμορφώνεται μια νέα φιλοσοφία των μαθηματικών "χωρίς θεμέλια". Μετά από τις αποτυχημένες προσπάθειες που έκαναν κορυφαίοι μαθηματικοί-φιλόσοφοι (κυρίως οι Frege, Russell, Hilbert, και Brouwer) να θεμελιώσουν την "καθαρότερη των επιστημών", οι αναζητήσεις στράφηκαν προς άλλες κατευθύνσεις. Οι θεμελιωτιστές είχαν μια σημαντική κοινή συνιστώσα που έλκει την καταγωγή της από τον ιδεαλισμό του Πλάτωνα. Ξεκινούσαν από την παραδοχή ότι υπάρχει τρόπος να δημιουργηθεί ένα σύστημα απαλλαγμένο από παράδοξα, με αναμφισβήτητες και μόνιμες μαθηματικές αλήθειες. Μετά την απόδειξη του Godel ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ή να αποκλεισθεί η αλήθεια κάθε πρότασης σε ένα μαθηματικό σύστημα με εσωτερικά μόνο μέσα, το αντικείμενο της θεμελίωσης των μαθηματικών εξέλειψε. Σήμερα δεν γίνεται αποδεκτή η πλατωνική μεταφυσική αντίληψη των μαθηματικών.

Η αντίληψη ενός τελειωμένου μαθηματικού συστήματος παραπέμπει στη λογική ότι ο ερευνητής ή/και ο μαθητής αναμένεται να ανακαλύπτουν/αναπαράγουν υπάρχουσες μαθηματικές προτάσεις (το μοντέλο μάθηση με ανακάλυψη). Τώρα που οι ελπίδες για ένα τέτοιο σύστημα έχουν εκλείψει, γίνεται αποδεκτή η άποψη ότι τα μαθηματικά ούτε έχουν ούτε χρειάζονται θεμέλια. Οι μαθηματικές προτάσεις δεν είναι όλες απόλυτες αλήθειες, μερικές δεν είναι καν βέβαιες, αλλά ένα μέρος τους είναι ημι-εμπειρικές, πιθανές και δυνατό να είναι εσφαλμένες. Τα μαθηματικά γενικά δεν υπάρχουν κάπου εκεί έξω, αλλά δημιουργούνται ή εφευρίσκονται από τον άνθρωπο κατά την ενασχόλησή του με καθημερινά προβλήματα ή με νοητικές ιδέες, προς εξυπηρέτηση υλικών και πνευματικών στόχων. Από τη στιγμή της δημιουργίας του ένα σύστημα έχει ιδιότητες, συχνά πολύπλοκες, που θα ανακαλυφθούν σταδιακά. Η αντίληψη αυτή έχει άμεση σύνδεση με τη θεωρία του οικοδομισμού (το μοντέλο οικοδόμησης της γνώσης ή της ενεργητικής μάθησης). Η συζήτηση για "μάθηση με ανακάλυψη" ή "μάθηση με κατασκευή" έχει φιλοσοφικές ρίζες και ευρύτερες προεκτάσεις. Η 'ανακάλυψη' με την έννοια της ανακάλυψης της Αμερικής από τον Κολόμβο και η κατασκευή/εφεύρεση με την έννοια της δημιουργίας ενός νέου μαθηματικού συστήματος.
Παράδειγμα: Λέμε ότι το 1614 o John Napier ανακάλυψε τους λογάριθμους, γιατί η βασική ιδέα είναι μια προέκταση των ιδιοτήτων των πράξεων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι ιδιότητες αυτές ήταν εκεί από τη στιγμή που κατασκευάστηκε το σύστημα των πραγματικών αριθμών. Αντίθετα, το 1857 ο Cayley δημιούργησε ή εφεύρε τους "πίνακες" που είναι μαθηματικά αντικείμενα, τα οποία δεν αποτελούν ιδιότητες κανενός γνωστού συστήματος. Ωστόσο, από τη στιγμή της επινόησής τους οι πίνακες είχαν ιδιότητες και μπορούσαν να τύχουν εφαρμογής σε τομείς που ούτε ο δημιουργός τους δεν είχε φανταστεί. Μπορούμε να πούμε ότι οι ιδιότητες των πινάκων, οι εφαρμογές και οι γενικεύσεις τους ανακαλύφθηκαν.
Μια άλλη αντίληψη των μαθηματικών, η οποία επίσης αναθεωρείται, είναι το αλάθητο των μαθηματικών προτάσεων. Για αιώνες, κάθε αλήθεια στα μαθηματικά θεωρείτο ακριβής και διαχρονική. Η πεποίθηση αυτή καταρρίφθηκε από τη στιγμή που δημιουργήθηκε η μη Ευκλείδεια γεωμετρία, που είχε ως αποτέλεσμα πολλά από τα θεωρήματα του Ευκλείδη να θεωρούνται όχι απόλυτες αλλά "κατά συνθήκη αλήθειες". Η σύγχρονη αντίληψη υποστηρίζει ότι η αξιωματική μέθοδος μας διασφαλίζει ότι οι μαθηματικές προτάσεις είναι λογικά συμπεράσματα ενός συνόλου παραδοχών. Αλλά, τα αξιώματα δεν θεωρούνται προφανείς αλήθειες, είναι υποθέσεις εργασίας, των οποίων η σημασία ελέγχεται από τη συνέπεια, τη θεωρητική και πρακτική σημασία του μαθηματικού συστήματος. Δεδομένου ότι ένας τέτοιος έλεγχος γίνεται εμπειρικά, τα μαθηματικά ή τουλάχιστον ένα μέρος τους είναι ημι-εμπειρική επιστήμη που, κατά τον Lakatos, επιδέχεται αποδείξεις αναιρέσεις και βελτιώσεις.
Η στάση που ακολουθούν οι περισσότεροι μαθηματικοί είναι εκείνη που θέλει τα μαθηματικά να είναι μια ανακαλυπτική διαδικασία. Αυτό έχει συνέπειες στην συμπεριφορά τους ως εκπαιδευτικοί μέσα στην σχολική τάξη όπου το μάθημα γίνεται με τον παραδοσιακό τρόπο υπαγόρευσης της θεωρίας του κάθε καινούριου κεφαλαίου και απαίτηση για αφομοίωση του από τους μαθητές για την επόμενη τους συνάντηση.