Η ποιητική των αριθμών

Γράμματα και αριθμοί, γραφή και αρίθμηση: τα πρώτα που μαθαίνει ένα παιδί στο σχολείο αλλά και στο σπίτι. Τόσο η γραφή με την ανάγνωση, όσο και η αρίθμηση με τις αριθμητικές πράξεις, εξυπηρετούν στην αρχή καθημερινές πρακτικές ανάγκες. Σταδιακά όμως μπορούν να περάσουν σε ένα άλλο, ανώτερο επίπεδο όπου πλέον μετατρέπονται σε πνευματικές δημιουργίες. Τα πάντα εξαρτώνται από την οπτική γωνία, την παιδεία και τη διάθεση του καθενός.
Κορύφωση της γραφής είναι η ποίηση και της αρίθμησης τα μαθηματικά. Τι είναι όμως ποίηση και τι μαθηματικά;

Υπάρχουν πολλές απαντήσεις σχεδόν τόσες όσοι και οι δημιουργοί τους, ή ακόμη όσοι και οι αποδέκτες τους. Όποιος διαβάζει και αγαπάει την ποίηση καταλαβαίνει τι είναι ποίηση έστω και αν δεν μπορεί να το διατυπώσει και να το ορίσει.
Όμοια, όποιος ασχολείται με τα μαθηματικά αντιλαμβάνεται ότι δεν είναι μόνο ένα χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων και την κατανόηση των άλλων επιστημών, αλλά κάτι που σχετίζεται άμεσα με την έννοια του Ωραίου, με την αισθητική απόλαυση. Χαρακτηριστική είναι η φράση του Γερμανού φυσικού Bέρνερ Kαρλ Χάιζενμπεργκ, ο οποίος τιμήθηκε το 1932 με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής για το έργο του στον κλάδο της κβαντομηχανικής: «Μόνο δύο γλώσσες έχει ο άνθρωπος για να αντιμετωπίσει την πραγματικότητα, τα μαθηματικά και την ποίηση».

Κοινά σημεία

Έχουν τα μαθηματικά και η ποίηση κάποια κοινά χαρακτηριστικά, ομοιότητες, κάποια συγγένεια ή τα χωρίζει ένα μεγάλο χάσμα όπως νομίζουν πολλοί;

Θεωρώντας ότι αυτή η συγγένεια υπάρχει, στο παρόν άρθρο θα γίνει προσπάθεια να φανερωθεί, να αποδειχθεί, όπως λέμε οι μαθηματικοί. Και όπως κάθε απόδειξη, για να είναι έγκυρη, πρέπει να στηρίζεται σε επιχειρήματα, σε αξιώματα και θεωρήματα και τέτοια είναι ποιήματα και κείμενα ποιητών, καθώς και σκέψεις και ιδέες μαθηματικών.

Ας αρχίσουμε με τον Οδυσσέα Ελύτη, ο οποίος έχει μετατρέψει σε ποίηση βασικές μαθηματικές έννοιες και ιδέες. Στο δοκίμιό του «H μέθοδος του άρα» σημειώνει: «Τον καιρό που δεν καταλάβαινα τα μαθηματικά, θυμάμαι, μου λέγανε ότι δεν είχα παρά να μετατοπισθώ κατά ένα βήμα, σαν συλλογιστικός μηχανισμός, για να διατρέξω την απέραντη και συνάμα μηδαμινή απόσταση που ένιωθα να με χωρίζει απ' αυτόν τον χώρο. Και αναρωτιέμαι: μήπως θα ήταν χρήσιμο να το αντιστρέψουμε αυτό σήμερα; Και από τη μεριά τη δική μας να εξηγήσουμε στα παιδιά ότι μια διαφορετική από μέρους τους διαχείριση των στοιχείων της πραγματικότητας θα μπορούσε πάλι να τα βγάζει σε αλλιώς αυστηρά και αλλιώς αποδεικτέα μαθηματικά;» (Εν λευκώ, εκδ. Ίκαρος).

Λυρικά μαθηματικά

Τα νέα αυτά μαθηματικά θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «λυρικά μαθηματικά». Είναι ενσωματωμένα μέσα στο έργο του ποιητή είτε ως αυτοτελή ποιήματα είτε ως στίχοι άλλων ποιημάτων που έχουν τη δομή ενός μαθηματικού αξιώματος ή θεωρήματος.

Θεωρώ απαραίτητο να παραθέσω ένα ακόμα απόσπασμα από το ίδιο δοκίμιο του Oδ. Eλύτη: «Μπαίνοντας ο εικοστός αιώνας, στο τελευταίο του τέταρτο, αισθάνομαι άστεγος και περιττός. Όλα είναι κατειλημμένα - ως και τ' άστρα. Οι άνθρωποι έχουν απαλλαγεί από κάθε παιδεία... Oι κολεγιόπαιδες λύνουν εκπληκτικές εξισώσεις με μιαν ευκολία που είναι ν' απορείς: συν, πλην, διά, επί - άρα. Tο μυστικό στη ζωή αυτή, φαίνεται, δεν είναι αν είσαι δούλος ή όχι. Eίναι να οδηγείσαι με συνέπεια σε κάποιο «άρα» και να 'χεις έτοιμη την απάντηση».

ʼρα; Mήπως χρειάζεται ένα διαφορετικό «άρα» που να είναι αποτέλεσμα κάποιων «αλλιώς αυστηρών και αλλιώς αποδεικτέων μαθηματικών»; Iσως είναι ανάγκη στα παιδιά μας να διδάσκουμε μαζί με τα μαθηματικά που οδήγησαν στο «άρα» της τεχνολογίας, και κάποια «λυρικά μαθηματικά» που να οδηγούν και στο «άρα» της ευαισθησίας «που διπλασιάζει την ικανότητά σου να αντιλαμβάνεσαι τη ζωή και που αποτελεί μια πρόσβαση στο πραγματικό νόημα της ελευθερίας. Επειδή -να το πούμε κι αυτό- ελευθερία δεν είναι να κινείσαι ανεμπόδιστα στο πεδίο που σου έχει δοθεί. Να διευρύνεις αυτό το πεδίο και δη κατά τη διάσταση της αναλογίας των αισθήσεων, αυτό είναι».

Oι απόψεις αυτές του Οδυσσέα Eλύτη είναι διάχυτες μέσα στο ποιητικό του έργο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα το παρακάτω απόσπασμα από τη συλλογή του Mικρός Ναυτίλος (εκδ. Iκαρος):

T' ανώτερα μαθηματικά μου τα έκανα στο Σχολείο της θάλασσας. Iδού και μερικές πράξεις για παράδειγμα:
(1) Εάν αποσυνθέσεις την Ελλάδα, στο τέλος θα δεις να σου απομένουν μια ελιά, ένα αμπέλι κι ένα καράβι. Που σημαίνει: με άλλα τόσα την ξαναφτιάχνεις.
(2) Tο γινόμενο των μυριστικών χόρτων επί την αθωότητα δίνει πάντοτε το σχήμα κάποιου Ιησού Xριστού.
(3) H ευτυχία είναι η ορθή σχέση ανάμεσα στις πράξεις (σχήματα) και στα αισθήματα (χρώματα). H ζωή μας κόβεται, και οφείλει να κόβεται, στα μέτρα που έκοψε τα χρωματιστά χαρτιά του ο Matisse.
(4) Όπου υπάρχουν συκιές υπάρχει Ελλάδα. Όπου προεξέχει το βουνό απ' τη λέξη του υπάρχει ποιητής. H ηδονή δεν είναι αφαιρετέα.
(5) Ένα δειλινό στο Αιγαίο περιλαμβάνει τη χαρά και τη λύπη σε τόσο ίσες δόσεις που δεν μένει στο τέλος παρά η αλήθεια.
(6) Κάθε πρόοδος στο ηθικό επίπεδο δεν μπορεί παρά να είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ικανότητα που έχουν η δύναμη κι ο αριθμός να καθορίζουν τα πεπρωμένα μας.
(7) Ένας «αναχωρητής» για τους μισούς είναι, αναγκαστικά, για τους άλλους μισούς, ένας «Ερχόμενος».
Tο ποίημα αποτελεί έξοχο δείγμα «λυρικών μαθηματικών». Δεν είναι μόνον ο τίτλος του που παραπέμπει στη συγκεκριμένη επιστήμη, αλλά όλη η δομή του έχει τη μορφή μαθηματικού κειμένου.

Ως γνωστόν, στα κλασικά μαθηματικά δομικά στοιχεία είναι οι αριθμοί, τα σχήματα, οι ιδέες. Χώρος διδασκαλίας τους είναι το σχολείο και ο μαυροπίνακας. Στα «λυρικά μαθηματικά» του Eλύτη δομικά στοιχεία είναι η ελιά, το αμπέλι, το καράβι και τα συναισθήματα. Χώρος διδασκαλίας η θάλασσα και ο φυσικός περίγυρος. H μέθοδος μελέτης και η ορολογία είναι μαθηματική. Έχουμε εδώ λοιπόν ένα πρόβλημα ανάλυσης και σύνθεσης, όπως -ίσως- θυμάστε από τα γυμνασιακά σας χρόνια. Ανάλυση: H Ελλάδα αναλύεται σε μια ελιά, ένα αμπέλι και ένα καράβι. Σύνθεση: Μια ελιά, ένα αμπέλι και ένα καράβι είναι ικανά να φτιάξουν την Ελλάδα.

O ποιητής και μάχιμος μαθηματικός Έκτωρ Kακναβάτος εύστοχα συνδέει τα μαθηματικά με την ποίηση όταν γράφει: «Μιλάμε για ένα δίχαλο που πάει να πιάσει σε μια μέγγενη τον κόσμο. H ποίηση ανοίγεται μέσα στην ποιότητα του λόγου, τα μαθηματικά βρίσκονται μέσα στην ποσότητα - όχι μόνο του λόγου, αλλά και του καθενός πράγματος. Εάν ενοποιηθούν τα δύο αυτά πεδία, μπορεί ο κόσμος να ευτυχήσει».

Ως γνήσιος υπερρεαλιστής ποιητής, ο E. Kακναβάτος χρησιμοποιεί μαθηματικούς όρους και έννοιες σε πολλές ποιήματά του με έναν τρόπο που ξαφνιάζει:
«Πέρα στη δημοσιά
φάνηκε πρώτα στήλη κουρνιαχτός
ως τα μεσούρανα.
Δεν άργησε πολύ.
O δρόμος έφερνε το ποδοβολητό
τον χουγιαχτό της
κλείνατε παράθυρα κατέβαιναν ρολά.
Σιδηροντυμένη έμπαινε πια στην πόλη
η εξίσωση»
(΄Αλγεβρα)

Tο ποίημα περιγράφει με ενάργεια τη στιγμή που το μυαλό του μαθηματικού συλλαμβάνει, σαν αστραπή, την ιδέα της λύσης ενός προβλήματος με την εισβολή μιας εξίσωσης στο ποίημα:
"ʼφεγγη πάλι απόψε η Σελήνη
κάθισε στο βυθό επωάζοντας τα έμμηνά της.
Πέραν του απείρου, ο ορίζοντας
τρικλίζει φορτωμένος τρεις άγριες γεωμετρίες"
(Χαοτικά Ι εκδ. ʼγρα).

Με τέσσερις στίχους ο E. Kακναβάτος, ατενίζοντας το στερέωμα, το προσαρμόζει στις τρεις γεωμετρίες του Ευκλείδη, του Λομπατσέφσκι και του Pίμαν, τις οποίες αποκαλεί «άγριες» με την έννοια ότι εισβάλλουν δυναμικά για να περιγράψουν τον κόσμο. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι η συλλογή του Χαοτικά I θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μια ποιητική διατύπωση της θεωρίας του χάους, νέου κλάδου των σύγχρονων μαθηματικών.

Εκτός από τον Οδυσσέα Eλύτη και τον Έκτορα Kακναβάτο, υπάρχουν αρκετοί Έλληνες ποιητές που συνδέουν τα μαθηματικά με την ποίηση. Ενδεικτικά αναφέρω τον K. Π. Kαβάφη και τον Γιάννη Ρίτσο, καθώς και τους: Γ. Bαφόπουλο, Δ. Γαβαλά, Γ. Kοντό, K. Kύρου, Π. Mάρκογλου, Π. Μπουκάλα, M. Ξεξάκη, Γ. Yφαντή κ.ά. Δυστυχώς, η έλλειψη χώρου δεν επιτρέπει μια πιο εκτενή αναφορά στο έργο τους.

Θα σταθώ όμως για λίγο στην περίπτωση του Γιώργου Bαφόπουλου και στο ποίημά του «O μεγάλος Kώνος». Κυρίαρχο στοιχείο στο συγκεκριμένο ποίημα είναι το γεωμετρικό μοντέλο: ο κώνος, η σπειροειδής γραμμή, το τετράγωνο, ο κύβος και η τεθλασμένη γραμμή περιγράφουν την πορεία της ζωής ενός ανθρώπου από τη γέννηση ως τον θάνατο. Oι πρώτες σπείρες στη βάση του κώνου, τα παιδικά χρόνια, είναι μεγάλες, είναι η εποχή που αργά αργά διαμορφώνεται ο άνθρωπος, ο ορίζοντάς του είναι μικρός. Όσο ανεβαίνουμε πάνω στην επιφάνεια του κώνου οι σπείρες μικραίνουν, αλλά ο ορίζοντας του βλέμματός μας μεγαλώνει. Δεν νομίζω ότι μπορεί να δοθεί εναργέστερη εικόνα της πορείας της ζωής από την ανέλιξη στην επιφάνεια ενός κώνου. Πρόκειται αναμφισβήτητα για μια γοητευτική συνάντηση της ποίησης με τα μαθηματικά. Παραθέτω ένα ενδεικτικό απόσπασμα:

«O άνθρωπος του οιδιπόδειου αινίγματος
ξεκινά την αυγή, πάνω στ' αχνάρια της γραμμής,
με τα τέσσερα πόδια. Στα μισά του δρόμου
στυλώνεται στα δυο του, για να ιδεί κατάματα τον ήλιο του λαμπρού μεσημεριού.
Και το βράδυ φθάνει στην κορφή του κώνου, σέρνοντας τώρα το τρίτο του ποδάρι,
έτοιμος να αντικρίσει τη μεγάλη δύση.
αλλά έμεινε ατελής του αινίγματος η λύση».
Πιστεύω ότι δεν χρειάζονται ιδιαίτερες γνώσεις μαθηματικών για να διαπιστώσουμε πώς εναρμονίζονται τα μαθηματικά με την ποίηση. Ακόμη και ο άνθρωπος που γνωρίζει στοιχειώδη μαθηματικά απολαμβάνει τη λύση και της πλέον στερεότυπης άσκησης. Όταν μάλιστα η απόδειξη είναι «κομψή» ή όταν ένα πρόβλημα που έλυσε ήταν «ωραίο», τότε αισθάνεται την ίδια αισθητική απόλαυση όση και με το διάβασμα ενός ποιήματος, με την τέρψη που μπορεί να προσφέρει ένα έργο τέχνης γενικότερα.

Σύμφωνα με τον συνθέτη και αρχιτέκτονα Iάννη Ξενάκη: «Tα μαθηματικά κινούνται στη χώρα της φαντασίας. Mαθηματική σκέψη είναι η ικανότητα της συνδυαστικής. Πολλοί μαθηματικοί εργάζονται σαν τους καλλιτέχνες. Όπως οι καλλιτέχνες έτσι και οι μαθηματικοί ξεκινούν με μια σύλληψη που προσπαθούν εκ των υστέρων να την αποδείξουν. Συλλαμβάνουν κάτι, και μετά το επαληθεύουν. Τόσο στα μαθηματικά όσο και στην τέχνη ο δρόμος είναι το απόλυτο σκοτάδι. Tα μαθηματικά υπάρχουν για να επιβεβαιώνουν την αναγκαιότητα ενός φανταστικού κόσμου. Xωρίς τα μαθηματικά, τα όνειρα και η φαντασία θα ήταν στο κενό».

Ευκλείδεια «ποίηση»
Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το ανάλογο του Όμηρου στα μαθηματικά είναι ο Ευκλείδης, ο οποίος τριακόσια χρόνια μετά τον Όμηρο συγκέντρωσε όλες τις γνώσεις των μαθηματικών από τους Βαβυλώνιους μέχρι τον Θαλή και τον Πυθαγόρα και συνέθεσε τα Στοιχεία. Oι αριθμοί, τα σχήματα, οι ιδιότητες αλλά και οι νέες ιδέες είναι τα υλικά του οικοδομήματος του Ευκλείδη. Tο συνταίριασμα τους είναι αυτό που δίνει αισθητική απόλαυση. Μάλιστα, όπως είπε και ο Αϊνστάιν, «η παρουσίαση της ύλης των Στοιχείων από τον Ευκλείδη είναι η ποίηση των λογικών ιδεών».

Θα είχε ενδιαφέρον αν παρουσιάζαμε κάποιες προτάσεις και αποδείξεις από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, που πραγματικά ξαφνιάζουν με τη σύλληψή τους, με τη λιτότητα της διατύπωσής του, χαρακτηριστικά που συναντά κανείς και σ' ένα ποίημα.
Ένα παράδειγμα από τη μαθηματική ανάλυση: H εξίσωση eπi+1=0 είναι ένας τύπος που κρύβει ένα ολόκληρο σύμπαν. Eδώ η ομορφιά η λιτότητα της μορφής και η κομψότητα της απόδειξης της αλήθειας του έχει την ομορφιά της ποιητικής δημιουργίας, διότι μια κομψά διατυπωμένη απόδειξη είναι, απ' όλες τις απόψεις, ένα πραγματικό ποίημα.
Δεν θα κάνουμε την απόδειξη του ανωτέρω τύπου, θα περιοριστούμε απλώς στη σύντομη, αναγκαστικά, αναφορά στη σημασία καθενός από τους πέντε αριθμούς που τον συνθέτουν: Tο 1, το 0, το π, το i και το e.

Καθυστέρησαν πολύ οι άνθρωποι για να αποδεχτούν ως αριθμό το 1, αφού ήταν το Όν, ο δημιουργός του Σύμπαντος και όλων των αριθμών. Τίποτα δεν προηγείται αυτού του αριθμού και ό,τι ακολουθεί δεν είναι παρά η δική του αξία επ' άπειρον προστιθεμένη.
Tα πράγματα ήταν πιο δύσκολα με το μηδέν, ενός αριθμού που είναι το σύμβολο της μη ποσότητας, του κενού, η αναπαράσταση της απουσίας. Oι αρχαίοι Έλληνες απέρριπταν το μηδέν. Στο σύστημα αρίθμησής τους δεν υπήρχε καν. Αυτή ήταν η αιτία που η Δύση δεν μπόρεσε να αποδεχθεί το μηδέν για 2.000 σχεδόν χρόνια αφού οι Ινδοί και οι ʼραβες το χρησιμοποίησαν στην αρχή της πρώτης χιλιετίας. Όπως γράφει ο ποιητής Παντελής Μπουκάλας:

«Τόσοι θεοί μας ετοίμασαν το μηδέν
Kαιρός του ανθρώπου».
O αριθμός π συνδέθηκε με τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου, του διπλασιασμού του κύβου και της τριχοτόμησης της γωνίας, γύρω από τα οποία δημιουργήθηκε μια ολόκληρη μυθολογία. Κανένα άλλο μαθηματικό σύμβολο δεν γέννησε τόσο μυστήριο, ρομαντισμό και ενδιαφέρον όσο ο αριθμός π. Ακόμη και σήμερα ασκεί μια περίεργη γοητεία ώστε με κάθε μοντέλο μεγάλου υπολογιστή να βρίσκουν και νέα δεκαδικά του ψηφία. Έχουν πλέον υπολογιστεί 51 δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του π. Έχουν επίσης γραφεί πολλά βιβλία με θέμα τον αριθμό π, πρόσφατα γυρίστηκε και μια κινηματογραφική ταινία, μουσικά έργα συντέθηκαν με βάση κάποια ψηφία του π, καθώς και ποιήματα ευκολοαπομνημόνευτα που το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης είναι και ένα δεκαδικό ψηφίο του π.

O αριθμός i, η φανταστική μονάδα όπως ονομάστηκε, διεύρυνε την έννοια του αριθμού και δημιούργησε ένα καταπληκτικό οικοδόμημα, τη μιγαδική ανάλυση, που απέρριψε το όνομα «φανταστική μονάδα» αφού βοήθησε στην κατανόηση και ερμηνεία του φυσικού κόσμου. Έτσι, η προσωνυμία «φανταστικό!» έχει μόνο θαυμαστικό χαρακτήρα. O αριθμός e βάση των φυσικών λογαρίθμων ορίζεται από το όριο της ακολουθίας (1+1/ν)η δηλαδή e = όριον(1+1/ν)η =2,718281830... με πολλές χρήσεις και εφαρμογές.

Kάθε ένας από τους πέντε αυτούς αριθμούς κι ένας μύθος, μια ολόκληρη θαυμαστή ιστορία. Kαι το εκπληκτικό: ένας απλός τύπος eπi+1=0 συνδέει αυτήν την πεντάδα. Kαι η απόδειξη του τύπου κομψοτέχνημα. Ένα καταπληκτικό ποίημα που στον γνώστη των μαθηματικών ασκεί μια απεριόριστη γοητεία, όπως π.χ. ένα απόσπασμα του Σολωμού.

Σε κάθε περίπτωση, η μαθητεία είναι απαραίτητη για να μπεις στον έναν ή στον άλλο κόσμο. Όσο περισσότερο μαθητεύεις, τόσο καταλαβαίνεις ότι το χάσμα μεταξύ μαθηματικών και ποίησης μικραίνει. Τόσο ο μαθηματικός όσο και ο ποιητής, για να δημιουργήσουν, πρέπει να δουλέψουν σκληρά και πρέπει να διαθέτουν, εκτός από γνώσεις, διαίσθηση και φαντασία, ενόραση και δημιουργικότητα, μυαλό και ψυχή.
Όταν η ευαισθησία και η λογική συμπορεύονται, τότε μαθηματικά και ποίηση βοηθούν να κατανοήσουμε τον κόσμο και, πάνω απ' όλα, η εικόνα του κόσμου ομορφαίνει.
Στέφανος Μπαλής – Δρ. Μαθηματικός – Συγγραφέας
Εφημερίδα Καθημερινή 11/4/2004