Τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά

Eureka, Il genio delgi antichi, 218, Electa Napoli, Italia 2005
Μηχανή του Αρχιμήδη για την άντληση νερού. Βιτρούβιος "De Architectura", Ρώμη 1836.

Η Γεωμετρία είναι προσανατολισμένη προς την αφηρημένη γεωμετρική γνώση και τις τυπικές μεθόδους συνεπαγωγής και απόδειξης. Ο λόγος για αυτήν την έμφαση στη γεωμετρία είναι η ασυμμετρότητα της πλευράς και της διαγωνίου (πυθαγόρεια σχολή). Το άρρητο της διαγωνίου έπεισε τους έλληνες για την αδυναμία των αριθμών να εκφράσουν την πραγματικότητα.

Ευκλείδης, 3^ος αιώνας π.Χ.

Οι καινοτομίες αυτής της περιόδου κωδικοποιήθηκαν στα Στοιχεία του Ευκλείδη, όπου τα Μαθηματικά είναι επεξεργασμένα ως ένα αξιωματικό, λογικά παραγωγικό σύστημα. Τα Στοιχεία ξεκινούν με ένα σύνολο ορισμών: του σημείου, της γραμμής, της ευθείας, της επιφάνειας, της επίπεδης γωνίας, της ορθής, αμβλείας και οξείας γωνίας, διαφόρων επίπεδων σχημάτων, των παράλληλων γραμμών κ.λπ. Τους ορισμούς ακολουθούν πέντε αιτήματα: ότι από κάθε σημείο μπορεί να αχθεί ευθεία γραμμή σε κάθε άλλο σημείο, ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να προεκταθεί συνεχώς και ευθύγραμμα και από τα δύο άκρα του, ότι μπορούμε να χαράξουμε κύκλο οποιασδήποτε ακτίνας με κέντρο οποιοδήποτε σημείο, ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες, και μια διατύπωση των συνθηκών κάτω από τις οποίες δύο ευθείες τέμνονται. Μετά τα αιτήματα ακολουθούν πέντε κοινές έννοιες ή αξιώματα-προτάσεις των οποίων η αλήθεια είναι προφανής αφ' εαυτής και οι οποίες είναι αναγκαίες για την ορθή σκέψη γενικά και τη μαθηματική ειδικότερα. Τα αξιώματα περιλαμβάνουν προτάσεις όπως ότι αυτά που είναι ίσα με το ίδιο πράγμα είναι και ίσα μεταξύ τους, ότι αν στα ίσα προστεθούν ίσα προκύπτουν ίσα αθροίσματα και ότι το όλον είναι μεγαλύτερο από το μέρος. Αυτοί οι ισχυρισμοί θέτουν τα θεμέλια για τις προτάσεις που περιλαμβάνονται στα 13 βιβλία που ακολουθούν. Μια τυπική πρόταση αρχίζει με την εκφώνηση, την οποίο ακολουθεί ένα παράδειγμα (διορισμός), ένα περαιτέρω προσδιορισμός της πρότασης και μια γεωμετρική κατασκευή και τελειώνει με την απόδειξη και το συμπέρασμα. Το συμπέρασμα της τυπικής ευκλείδειας απόδειξης συνάγεται με λογική αναγκαιότητα από ορισμούς, αιτήματα, αξιώματα και προτάσεις που έχουν αποδειχθεί προηγούμενα.
Στα βιβλία Α-ΣΤ αναπτύσσονται τα στοιχεία της επιπεδομετρίας. Το βιβλίο Ι είναι αφιερωμένο στην ταξινόμηση των ασύμμετρων μεγεθών. Τα βιβλία ΙΑ-ΙΓ ασχολούνται με την στερεομετρία. Στα βιβλία Ζ-Θ, αντιμετωπίζει αριθμητικά ζητήματα, στα οποία περιλαμβάνεται η θεωρία αριθμών και αριθμητικών αναλογιών.

Αρχιμήδης

Ασχολήθηκε με θεωρητικά και εφαρμοσμένα μαθηματικά. Στο σημαντικό έργο του περιλαμβάνεται η επεξεργασία της μεθόδου της εξάντλησης και η εφαρμογή της για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων. Υπολόγισε μια βελτιωμένη τιμή για το π.

Απολλώνιος ο Περγαίος

Ασχολήθηκε κυρίως με τη μελέτη των κωνικών τομών. Μελέτησε την έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή-τα επίπεδα σχήματα που προκύπτουν ως τομές κυκλικού κώνου από επίπεδη επιφάνεια σε διάφορες γωνίες. Και επεξεργάστηκε μια νέα προσέγγιση σχετικά με τον ορισμό τους και τη μέθοδο παραγωγής τους.