Οι αριθμοί και η γοητεία τους

Από τον Hammurap, τον Ευκλείδη της Αλεξάνδρειας και τον Διόφαντο ως τις μέρες μας οι Φυσικοί αριθμοί ασκούν μια παράξενη γοητεία σε μερικούς ανθρώπους. (Φυσικοί είναι οι αριθμοί που αρχίζουν από 1 και προκύπτουν με διαδοχικές προσθέσεις της μονάδας, με άλλα λόγια 1, 2, 3... χωρίς τελειωμό). Οι άνθρωποι αυτοί συνήθως είναι μαθηματικοί και στην εποχή μας και επιστήμονες των υπολογιστών. Κατά κανόνα είναι λίγοι καθ' όσον η ψυχοπαθολογία της στάσης της κοινωνίας απέναντι στους αριθμούς χρήζει έρευνας. Πάρτε για παράδειγμα τα μαθηματικά του σχολείου. Η απόσταση που τα χωρίζει από τη μαγεία των Φυσικών αριθμών είναι ανάλογη της απόστασης της εκμάθησης της αλφαβήτου από την ποίηση. Ωστόσο όλοι μας μπορούμε να εκτιμήσουμε και να απολαύσουμε ποιήματα, έστω και αν δεν μπορούμε να τα γράψουμε. Ισχυρίζομαι ότι το ίδιο ισχύει για τα μαθηματικά, και εν προκειμένω για τη θεωρία των Φυσικών αριθμών.
Η θεωρία των Φυσικών αριθμών αναφέρεται σε έναν ιδεατό κόσμο, του οποίου τα αντικείμενα είναι «άπειρα το πλήθος». Σε αντίθεση ίσως με το φυσικό Σύμπαν που πιθανόν να είναι πεπερασμένο. Στον ιδανικό κόσμο των Αριθμών ισχύουν Αλήθειες, μερικές από τις οποίες μπορούμε να αποδείξουμε. Αντίθετα, στη Φυσική της πραγματικότητας το πείραμα είναι απαραίτητο. Ο κόσμος των αριθμών είναι δεδομένος a priori, ενώ ο πραγματικός κόσμος a posteriori. Παρ' όλα αυτά η αλληλεπίδρασή τους οδηγεί σε θετικά αποτελέσματα! Οι computers δουλεύουν, τα αεροπλάνα πετούν, το Internet υπάρχει και διευκολύνει την επικοινωνία. Φαίνεται ότι η εξιδανίκευση της διαίσθησής μας για το νόημα των όντων, ακόμη και από την προϊστορία, είναι επιτυχής.
Τα ποιήματα των Αριθμών είναι άκρως γοητευτικά ίσως γιατί η ανθρώπινη φύση συγκινείται όταν διαπιστώσει κάποιο «σχήμα»· π.χ. 6=1+2+3, είναι το άθροισμα των διαιρετών του. Ισως γι' αυτό ο κόσμος έγινε (κατά τους παλαιούς) σε 6 ημέρες. Αλλά και το 28=1+2+4+7+14 (το άθροισμα των διαιρετών του). Καθόλου περίεργο που οι αριθμοί αυτοί ονομάστηκαν «τέλειοι». Είναι ίσως εντυπωσιακότερο ότι ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5 είναι ορθογώνιο. Εδώ εγγίζουμε βαθιά ζητήματα (όπως το τελευταίο θεώρημα του Fermat που αποδείχθηκε στις μέρες μας από τον Α. J. Wiles).
Πόσοι από εμάς άραγε γνωρίζουν ότι η μοντέρνα κρυπτογραφία βασίζεται εν πολλοίς σε μια παραξενιά του πολλαπλασιασμού δύο Φυσικών αριθμών; Με απλά λόγια, το να πολλαπλασιάσουμε δύο Φυσικούς αριθμούς είναι εύκολο. Ακόμη και αν έχουν από 20 ψηφία ο καθένας, ο μέσος Ελληνας θα κάνει πολλαπλασιασμό με χαρτί και μολύβι σε 20 λεπτά το πολύ. Ο μέσος προσωπικός υπολογιστής σε κλάσματα του δευτερολέπτου. Τι γίνεται όμως αν μας ζητηθεί να μετατρέψουμε έναν Φυσικό αριθμό (π.χ. 40 ψηφίων) σε γινόμενο δύο Φυσικών αριθμών (εξαιρείται η «εξυπνάδα» ότι 1. x=x); Ακόμη και για ισχυρούς σημερινούς υπολογιστές, ακόμη και για το παγκόσμιο διαδίκτυο, θα χρειασθεί μήνες, ίσως έτη, για να «αποσυντεθεί» ένας τυχαίος Φυσικός αριθμός, π.χ. 180 ψηφίων, σε γινόμενο δύο Φυσικών αριθμών.
Αυτό το μυστήριο της μη αντιστρεπτότητας του πολλαπλασιασμού (μαζί με το μικρό θεώρημα του Fermat και τη γενίκευση του Euler) φαίνεται ότι σας προστατεύει έτσι ώστε να μην μπορεί ένας τεχνικός να διαβάσει το ΡΙΝ της τραπεζικής κάρτας σας από τον αυτόματο 24ωρο τραπεζικό σταθμό (ΑΤΜ)!
Οταν το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε, σημειώθηκαν φαινόμενα χουλιγκανισμού (math riots) στις ΗΠΑ (όπως έγραψε η «Chicago Tribune»). Η παράξενη γοητεία των Αριθμών ασκεί περίεργες επιδράσεις. Ακόμη και έτσι, αυτή η «βία» είναι προτιμότερη από αυτό που βλέπουμε στα γήπεδα τελευταία. Νέα παιδιά, ασχοληθείτε με τους Αριθμούς και τις Μηχανές τους! Ισως αξίζει τον κόπο.
Ο κ. Παύλος Σπυράκης είναι καθηγητής του Τμήματος Μηχανικών Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών, διδάκτωρ του Πανεπιστημίου του Harvard.