Ο Πλάτων και οι Ιδέες και τα μαθηματικά

Ο Πλάτων φτάνει στις Ιδέες στην προσπάθειά του να αποδείξει ότι υπάρχουν απόλυτες ηθικές αξίες - στη φιλοσοφία, η θέση αυτή ονομάζεται «ηθικός ρεαλισμός». Γρήγορα ωστόσο συνειδητοποιεί ότι η θεωρία των Ιδεών ταιριάζει απόλυτα με τη μαθηματική σκέψη. Θα εκμεταλλευτεί λοιπόν όσο κανένας άλλος τη σχέση μαθηματικών και φιλοσοφίας.

Τα μαθηματικά ασκούν ιδιαίτερη γοητεία σε κάθε φιλόσοφο που τάσσεται υπέρ της προτεραιότητας της νόησης - και, αντιστρόφως, προβληματίζουν τους εμπειριστές. Ο οπαδός του ορθολογισμού θαυμάζει την αυστηρότητα και τη συνέπεια της μαθηματικής σκέψης, κυρίως όμως εντυπωσιάζεται όταν διαπιστώνει ότι οι μαθηματικές κατασκευές βρίσκουν εφαρμογή στον πραγματικό κόσμο. Στην εποχή του Πλάτωνα είχε αναπτυχθεί ιδιαίτερα η γεωμετρία (είχαν γραφεί ήδη οι πρώτες αξιωματικές θεμελιώσεις, που ενσωματώθηκαν αργότερα στα Στοιχεία του Ευκλείδη) και είχαν κάνει τα πρώτα τους βήματα η μαθηματική αστρονομία και η θεωρία της μουσικής.

Οι μαθηματικές επιστήμες έχουν ιδιαίτερη βαρύτητα στο εκπαιδευτικό πρόγραμμα της πλατωνικής πολιτείας. Όσοι από τους φύλακες επιλεγούν για ανώτερες σπουδές θα αφιερώσουν δέκα χρόνια της ζωής τους στη συστηματική εκμάθηση πέντε κλάδων των μαθηματικών: της αριθμητικής, της γεωμετρίας, της στερεομετρίας, της αστρονομίας και της θεωρίας της μουσικής. Η εξοικείωση με τη μέθοδο των μαθηματικών θα αποτελέσει απαραίτητο εφόδιο για τη βαθμιαία εισαγωγή τους στη φιλοσοφία. Υποθέτουμε ότι κάτι ανάλογο γινόταν πράξη στην πλατωνική Ακαδημία, αν αληθεύει η πληροφορία ότι η επιγραφή στην είσοδό της ήταν το γνωστό μηδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω.

Στην ουσία ο Πλάτων ζητά από τους μελλοντικούς φιλοσόφους να διδαχθούν δύο πράγματα. Το πρώτο είναι ο τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικοί περνούν από τα αξιώματα στα θεωρήματα: πώς από το γενικό εξάγεται το ειδικότερο. Για παράδειγμα, πώς από τον ορισμό του τριγώνου αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι δύο ορθές. Αυτή η ασφαλής μετάβαση από τη μία αληθή πρόταση στην άλλη είναι απαραίτητη και στη φιλοσοφία. Το δεύτερο είναι ο ιδεατός χαρακτήρας των μαθηματικών οντοτήτων. Όσοι ξέρουν γεωμετρία, γνωρίζουν επακριβώς τι είναι τρίγωνο και τι είναι κύκλος, αφού γνωρίζουν τους ορισμούς τους· δεν περιμένουν να το μάθουν κοιτώντας γύρω τους τα τριγωνικά ή τα κυκλικά αντικείμενα ούτε απογοητεύονται επειδή δεν βλέπουν στον αισθητό τους περίγυρο κανένα τέλειο τρίγωνο και κύκλο. Το μαθηματικό τρίγωνο είναι Ιδέα, διακηρύσσει ο Πλάτων. Ως Ιδέα είναι νοητή και σταθερή, ανεξάρτητη από τα ατελή αισθητά τρίγωνα, μία και μοναδική απέναντι στην πολλαπλότητα των αισθητών τριγώνων.

Οι μαθηματικές Ιδέες είναι το καλύτερο παράδειγμα πλατωνικών Ιδεών. Ακόμη και ο αμύητος στα μαθηματικά αντιλαμβάνεται ότι ο ορισμός του τριγώνου δεν εξαρτάται από τα τριγωνικά αντικείμενα του περιβάλλοντός μας. Άρα το απόλυτο Τρίγωνο κατά κάποιον τρόπο υπάρχει. Ενώ είναι πολύ δύσκολο να πειστεί κάποιος ότι μια πράξη του είναι δίκαιη μόνο αν έχει κάποια σχέση με την απόλυτη Ιδέα της δικαιοσύνης, η οποία είναι αμφιλεγόμενη, είναι έτοιμος να δεχτεί ότι ένα ορατό αντικείμενο είναι τριγωνικό αν έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές, αν έχει δηλαδή κάποια σχέση με το απόλυτο Τρίγωνο.