Η Δωδέκατη Τετρακτύς

 

από την qubit

Α. Εισαγωγή

Ου, μα τον αμετέρα ψυχά παραδόντα τετρακτύν, Παγάν αενάου φύσεως ριζώματ’ έχουσαν

Μ’ αυτούς τους εξάμετρους στίχους ορκίζονταν οι Πυθαγόρειοι. Η τετρακτύς, «τετράδα»,  είναι γι’ αυτούς το σύμβολο, το οποίο αναπαριστά πλήρως τη μουσική – αριθμητική τάξη του κόσμου.

Ο Θέων ο Σμυρναίος λέει ότι η τετρακτύς «μοιάζει να περικλείει όλη τη φύση του Σύμπαντος» (δοκεί την των όλων φύσιν συνέχειν)1. Ο νεοπυθαγόρειος και νεοπλατωνικός αυτός φιλόσοφος, που γεννήθηκε κι έζησε στη Σμύρνη απ’ τα μέσα του 1ου ως τα μέσα του 2ου π.Χ. αιώνα, έγραψε 3 (απ’ όσο ξέρουμε) βιβλία, απ’ τα οποία ευτυχώς σώθηκε το ένα τουλάχιστον κι έτσι έμεινε μια σημαντικότατη πηγή αξιόπιστων πληροφοριών για τις πυθαγόρειες μελέτες.  Το έργο αυτό είναι «Των κατά των μαθηματικόν χρησίμων εις την Πλάτωνος ανάγνωσιν».  Εκεί ο Θέων αναλύει έντεκα τρόπους με τους οποίους σχηματίζεται τετρακτύς’  έντεκα τετρακτύες.          Ας ρίξουμε μια σύντομη ματιά.

Υπάρχουν δύο τετρακτύες αριθμών, «η μια που σχηματίζεται με πρόσθεση, η άλλη με πολλαπλασιασμό. Και αυτές οι τετρακτύες εσωκλείουν τους μουσικούς, τους γεωμετρικούς και τους αριθμητικούς λόγους από τους οποίους σχηματίζεται η αρμονία του Σύμπαντος». Οι δυο τετράδες είναι : 1,2,3,4 και 1,2,3,4,8,9,27 (αυτή με την οποία σχηματίζει ο Πλάτων στον Τίμαιο την ψυχή του κόσμου).          Οι άλλες τετρακτύες αναπαριστούν αντιστοιχίσεις.          Η 3η τετρακτύς αντιστοιχίζει: στο 1 το σημείο, στο 2 την γραμμή,  στο 3 την επιφάνεια και στο 4 το στερεό.          Η 4η τετρακτύς αντιστοιχίζει: στο 1 το πυρ, στο 2 τον αέρα,  στο 3 το ύδωρ και στο 4 τη γη.          Η 5η τετρακτύς αντιστοιχίζει: στο 1 την πυραμίδα (τετράεδρο), στο 2 το 8-εδρο, στο 3 το 20-εδρο και στο 4 τον κύβο (6-εδρο).          Η 6η «είναι εκείνη των δημιουργημένων πραγμάτων». Αντιστοιχίζει: στο 1 το σπέρμα, ανάλογο του σημείου.  Στο 2 την αύξηση μήκους, ανάλογη της γραμμής. Στο 3 την αύξηση κατά πλάτος, ανάλογη της επιφάνειας. Στο 4 την αύξηση κατά βάθος, ανάλογη του στερεού.          Η 7η τετρακτύς «είναι εκείνη των κοινωνιών». Αντιστοιχίζει στο 1 τον άνθρωπο, στο 2 την οικογένεια, στο 3 την κωμόπολη και στο 4 την πόλη «επειδή είναι από αυτά τα στοιχεία που συντίθεται το έθνος».          «Ολες αυτές οι τετρακτύες είναι υλικές και αισθητές»          Η 8η τετρακτύς «περιέχει τους παράγοντες με τους οποίους μπορούμε να κάνουμε κρίσεις πάνω στα προηγούμενα και που είναι εν μέρει διανοητικοί»: το 1 είναι η σκέψη, το 2 η επιστήμη, το 3 είναι η γνώμη και το 4 η αίσθηση.          Αντίστοιχα, η 9η «είναι το λογιστικό, το θυμικό, το επιθυμητικό και το σώμα», η 10η «είναι η άνοιξη, το καλοκαίρι, το φθινόπωρο κι ο χειμώνας» κι η 11η «το παιδί, ο έφηβος, ο ώριμος άνθρωπος, ο γέρος».

http://en.wikipedia.org/wiki/baryonic

Στα τέλη του 20ού αιώνα, παρουσιάστηκε, όπως θα δούμε, μία ακόμα τετρακτύς. Όχι απ’ τους μελετητές του Πυθαγόρα, αλλά απ’ το χώρο της Φυσικής και συγκεκριμένα απ’ την Κβαντική Φυσική. Στους φυσικούς είναι γνωστή σαν βαρυονική δεκάδα  (baryon decuplet) και παριστάνει γεωμετρικά μορφώματα των στοιχειωδών «σωματιδίων», σύμφωνα με τις κβαντικές τους ιδιότητες. Παρ’ όλο που αυτή η τετρακτύς εμφανίζεται στα βιβλία συνήθως με το κεφάλι κάτω,  δεν παύει να είναι αναγνωρίσιμη.

Πηγή: Ian Stewart-Martin Golubitsky ΕΙΝΑΙ Ο ΘΕΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΗΣ; (εκδ. Τραυλός,  1995) Πηγή: Fritjof Kapra ΤΟ ΤΑΟ ΚΑΙ Η ΦΥΣΙΚΗ (εκδ. Ωρόρα)

Για να καταλάβουμε το νόημά  της, δεν μπορούμε ν’ αποφύγουμε ...

...Λίγη Φυσική

Στις αρχές της δεκαετίας του ’30, η δομή της ύλης περιγραφόταν απ’ το μοντέλο Bohr-Rutherford. Σύμφωνα μ’ αυτό, τα στοιχειώδη, άτμητα συστατικά της είναι τα πρωτόνια, τα νετρόνια και τα ηλεκτρόνια. Τα πρωτόνια και τα νετρόνια συγκροτούν τον πυρήνα και γύρω απ’ τον πυρήνα περιστρέφονται σε τροχιές τα ηλεκτρόνια. Αυτό το σύστημα σωματιδίων, το λέμε άτομο.

Μοντέλο ενός ατόμου βηρυλλίου, σύμφωνα με το πρότυπο Bohr. Ο πυρήνας έχει 4 πρωτόνια (κόκκινα) και 4 νετρόνια (πράσινα). Γύρω απ’ τον πυρήνα στροβιλίζονται 4 ηλεκτρόνια. Οι σχετικές αποστάσεις είναι βέβαια ανακριβείς, για τις ανάγκες της αναπαράστασης Το οικόσημο του Rutherford, όταν έγινε βαρώνος, το 1931. Το πουλί κίβι, επάνω, κι ο ιθαγενής Μαορί, δεξιά, υποδηλώνουν τη Νέα Ζηλανδία, τη γενέτειρα του Rutherford. Αριστερά είναι ο Ερμής ο Τρισμέγιστος. Το ρητό κάτω, λέει: «να αναζητάμε τις απαρχές των πραγμάτων»

Σύγχρονο ατομικό μοντέλο (www.physics.ntua.gr/eesfye/PARTDAV) Αργότερα όμως, ανακαλύφθηκε ότι ούτε τα πρωτόνια, ούτε τα νετρόνια είναι στοιχειώδη. Το λεγόμενο Καθιερωμένο Μοντέλο (Standard Model) της Φυσικής υποστηρίζει την ύπαρξη μικρότερων «σωματιδίων» με κλασματικό ηλεκτρικό φορτίο, τα quarks. Σύμφωνα μ’ αυτή τη θεωρία, τα quarks είναι 6 ειδών, αλλά, εν πάσει περιπτώσει, προσδιορίστηκε ότι οι βασικοί δομικοί «λίθοι» της ύλης, είναι 4: το up quark, το down quark, το ηλεκτρόνιο και το νετρίνο (ένα μυστηριώδες σωματίδιο με πρακτικά μηδενική μάζα). Το ηλεκτρόνιο φαίνεται ότι δεν έχει πιο σύνθετη εσωτερική δομή, ενώ τα νουκλεόνια είναι σύνθετα σωματίδια και το καθένα περιέχει τρία κουάρκ. Όπως το ηλεκτρόνιο, έτσι και τα κουάρκ δεν φαίνεται να έχουν πιο σύνθετη δομή. Μόνο δύο είδη κουάρκ, που ονομάζονται «άνω» (up) και «κάτω» (down), χρειάζονται ώστε να συντεθεί το πρωτόνιο και το νετρόνιο. Έχουν φορτίο +2/3 και -1/3 αντίστοιχα, συγκριτικά με το φορτίο του ηλεκτρονίου, που είναι -1. http://hep.physics.uoc.gr/DOC/OUTREACH

Αυτοί οι 4 δομικοί λίθοι διαμορφώνουν την υλική πραγματικότητα, αλληλεπιδρώντας μεταξύ τους με 4  τύπους δυνάμεων: την ηλεκτρομαγνητική, ανάμεσα στα quarks και τα ηλεκτρόνια, που συνδέει τα άτομα μεταξύ τους, την ισχυρή πυρηνική, που συγκρατεί τα quarks μέσα στον πυρήνα, την ασθενή πυρηνική, που ευθύνεται για τις ραδιενεργές διασπάσεις, και την γνωστή μας βαρύτητα.

Υπάρχουν ένα σωρό λεπτομέρειες γύρω απ’ όλ΄αυτά, που η παράλειψή τους ουδόλως επηρεάζει το θέμα μας. Αυτά που χρειάζεται να κρατήσουμε, είναι 2 απλά πράγματα:

Η  συνήθης ύλη, αυτή δηλαδή με την οποία ερχόμαστε σε επαφή (κι όχι αυτή που βρίσκεται στις κοσμικές ακτινοβολίες ή που παράγεται στα εργαστήρια με τους επιταχυντές υψηλής ενέργειας) αποτελείται από πρωτόνια, νετρόνια, ηλεκτρόνια και νετρίνα ηλεκτρονίου.

τα πρωτόνια και τα νετρόνια είναι, σύμφωνα με το Καθιερωμένο Μοντέλο, τριάδες quarks up & down: Η τριάδα (uud) φτιάχνει το πρωτόνιο και η τριάδα (udd) τα νετρόνια. Πρωτόνια και νετρόνια ανήκουν σε μια οικογένεια τριαδικών συνδυασμών quarks, που λέγονται βαρυόνια.

τα ηλεκτρόνια και τα νετρίνα ηλεκτρονίου ανήκουν στην οικογένεια των λεπτονίων.

Τα μεσόνια (δυάδες quarks σύμφωνα με το Κ.Μ) καθώς και όλα τ’ άλλα βαρυόνια, εκτός απ’ τα πρωτόνια και νετρόνια, ΔΕΝ κυκλοφορούν ανάμεσά μας, καθότι στις φυσικές συνθήκες της γης δεν είναι διαθέσιμα τόσο μεγάλα ποσά ενέργειας, που χρειάζονται για την ύπαρξή τους. Παράγονται όμως, σε τεράστιες ποσότητες στο εσωτερικό των άστρων, κατά τη διάρκεια συγκρούσεων εντελώς φυσιολογικών σ’ εκείνα τα περιβάλλοντα και παρόμοιων μ’ αυτές που επιτυγχάνονται πειραματικά, κάτω από ειδικές συνθήκες πολύ υψηλών ενεργειών, στους γήινους επιταχυντές σωματιδίων.

Τί σημαίνει «γεωμετρικά μορφώματα»;

Διερευνώντας λοιπόν τη δομή του ατόμου εδώ και δεκαετίες, οι φυσικοί βομβάρδιζαν ανηλεώς τα άτομα με υψηλές ενέργειες, με αποτέλεσμα, στην αρχή της δεκαετίας του ‘60 να τους έχουν προκύψει πειραματικά καμιά διακοσαριά υποατομικά σωματίδια. (Είμαστε ακόμα στην εποχή των πρωτονίων και των νετρονίων. Τα quarks δεν είχαν βγει ακόμα στη φόρα). Προκειμένου να βάλουν τάξη σ’ συτό το χάος, προσπάθησαν να τα ομαδοποιήσουν,  με βάση τις κανονικότητες που παρατηρούσαν – να πετύχουν δηλαδή, κάτι ανάλογο με τον περιοδικό πίνακα των στοιχείων στη χημεία. Ο αμερικανός Gell-Man κι ο Ισραηλινός Ne’eman έψαξαν πίσω απ’ αυτό το πλήθος κάποια κρυμμένη συμμετρία. Δηλαδή κάποιου τύπου ομαδοποίηση, που θα «μάζευε» τα σωματίδια σε οικογένειες με κοινό χαρακτήρα. (Την ιδέα της συμμετρίας στον υποατομικό κόσμο είχε υποστηρίξει ο Heisenberg απο το 1932). Οι Gell-Man και Ne’eman έφτιαξαν δύο διαγράμματα με άξονες δύο κβαντικούς αριθμούς (το ισοσπιν και το υπερφορτίο) και τοποθέτησαν στο ένα διάγραμμα μεσόνια και στο άλλο βαρυόνια, ανάλογα με τις κβαντικές τους ιδιότητες. Το αποτέλεσμα που προέκυψε (το 1962), ήταν ότι τα σωματίδια σχηματοποιούνταν ως προς τις ιδιότητές τους,  βγάζοντας την κρυμμένη συμμετρία στο φως.

Το οκτέτο βαρυονίων, σχήμα που που ο Gell-Man βάφτισε «The  Eightfold Way»

Ο εξαγωνικός σχηματισμός που δημιουργούσε αυτή η κατάταξη, ονομάστηκε «οκτέτο βαρυονίων», αλλά  το πιό διαδεδομένο  του όνομα στον επιστημονικό χώρο είναι Eightfold Way (Οκταπλός Δρόμος), όπως το βάφτισε ο Gell-Mann (αποτείοντας, όπως λέγεται, φόρο τιμής στο Οκταπλό Μονοπάτι του Βούδα).

Αυτό που έχει ιδιαίτερη σημασία σε μία σχηματοποίηση, είναι το εξής: Οι συμμετρίες στις οποίες υπακούουν τα σωματίδια (συμμετρίες χώρου, χρόνου, προσανατολισμού) είναι κάτι παραπάνω από απλά, εύληπτα σχήματα ‘  υποδηλώνουν αντίστοιχους νόμους διατήρησης:  διατήρησης του μομέντουμ (το μέγεθος μάζα/ταχύτητα),  διατήρησης της ενέργειας, διατήρησης της ποσότητας περιστροφής που παίρνει μέρος σε μια εξελικτική διαδικασία και διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου.  Ο,που βλέπουμε, στον υποατομικό κόσμο, να εμφανίζεται μια συμμετρία, σημαίνει ότι υπάρχει και κάποια ποσότητα που διατηρείται και που μπορούμε να τη μετρήσουμε.

Αυτή η συμμετρία, οδηγούσε  στη σκέψη ότι τα μεσόνια και τα βαρυόνια πρέπει να έχουν δομή κι άρα δεν είναι στοιχειώδη.  Γι’ αυτό ο  Gell-Mann πρότεινε: ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν  στοιχειωδέστερα σωμάτια, που συγκροτούν την εν λόγω δομή,  ας τα  πούμε quarks  (λέξη που την πήρε από μια φράση του γλωσσοπλάστη James Joyce) κι ας ψάξουμε να τα βρούμε. Τα quarks εν τέλει θεωρήθηκε ότι ανακαλύφθηκαν, εφόσον οι φυσικοί άρχισαν πλέον να τα ψάχνουν (το τελευταίο αποκάλυψε την ύπαρξή του 10 1994).  Ο Gell-Mann κατάφερε να συνδυάσει  ανά τρία τα quark που βρέθηκαν πρώτα, με τρόπο που να δημιουργούνται όλα τα γνωστά βαρυόνια. Με τον κατάλληλο δε συνδυασμό τους ανά δύο, προέκυψαν τα  επίσης ήδη γνωστά μεσόνια (συνδυασμός κουάρκ και αντικουάρκ).  Ολα τα σωματίδια που συντίθενται από quarks, λέγονται αδρόνια (από την ελληνική λέξη αδρός, δυνατός, επειδή, ως σωματίδια του πυρήνα, αντιλαμβάνονται μόνο την ισχυρή πυρηνική δύναμη).

Θα πρέπει να επισημάνουμε ότι αντίθετα με τα quarks, που είναι μη επιβεβαιωμένες πειραματικά οντότητες, αποτελούν δηλαδή θεωρητικές υποθέσεις που εισήχθησαν για να εξηγήσουν τις υποατομικές συμπεριφορές, τα σωματίδια που αναφέραμε (βαρυόνια, μεσόνια, λεπτόνια) έχουν ανιχνευθεί πειραματικά.

Τι  παριστάνει η «12η τετρακτύς» ;

Η βαρυονική δεκάδα -η πανομοιότυπη με την τετρακτύν  σχηματοποίηση-  περιλαμβάνει 10 βαρυονικές «καταστάσεις», που λέγονται υπερόνια. Οι βαρυονικές αυτές «καταστάσεις» λέγονται αλλιώς «συντονισμοί» (resonances).   Ας δούμε πώς τα κατάφερε λοιπόν  το κατ’ εξοχήν πυθαγόρειο σύμβολο, η τετρακτύς, να μπλέξει με  ορολογία ταλαντώσεων- δηλαδή της φυσικής διαδικασίας που σχετίζεται με τον ήχο και τη μουσική.

Πηγή: D.H.Perkins ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΥΨΗΛΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ (εκδ, Τυπωθήτω, 1998)

Τα υπερόνια, είναι τριάδες quarks, όπως και τα πρωτόνια και τα νετρόνια, αλλά  εξαιρετικά βραχύβιες σε σχέση μ΄αυτά.  Στη βαρυονική δεκάδα (δηλαδή στη συγκεκριμένη σχηματοποίηση) συμμετέχουν τα υπερόνια με τα ονόματα Δελτόνιο, Σιγμόνιο, Ξιόνιο και Ωμεγόνιο. Τα «σωματίδια» αυτά, προκύπτουν σαν διεγερμένες καταστάσεις άλλων, σταθερότερων αδρονίων (όπως πχ. το πρωτόνιο). Γεννιώνται και πεθαίνουν κατά τη διάρκεια συγκρούσεων των αδρονίων και η ύπαρξή τους, που έχει νόημα μόνο στο πεδίο της ισχυρής πυρηνικήςαλληλεπίδρασης, διαπιστώνεται μόνο από τις σύντομες τροχιές που διαγράφουν. Ο λόγος που ονομάστηκαν «συντονισμοί», βασίζεται, όπως σημειώνει ο Φ. Κάπρα «σε μιαν αναλογία με το φαινόμενο του συντονισμού στο μακρόκοσμο που συνδέεται με τις παλμικές δονήσεις»2. Οι αντιδράσεις των αδρονίων αντιπροσωπεύουν μια ροή ενέργειας, που στα πλαίσιά της δημιουργούνται και διαλύονται σωματίδια, αλλά η ενέργεια αυτή μπορεί να περάσει μόνον από ορισμένους «διαύλους».  Ο δίαυλος μιας τέτοιας αντίδρασης, «ανοίγει» όταν η ενέργεια των συγκρουόμενων αδρονίων φτάσει μιά απ’ τις συχνότητες συντονισμού.  Ανάλογα με τη συχνότητα, ξεπετάγεται και το αντίστοιχο υπερόνιο, που ζει μόνον όσο χρειάζεται για να συμβάλει στο πλέγμα των συνεχών αντιδράσεων.

Μ’ αυτό το χαρακτήρα και τη συμπεριφορά  (κατά τη συμμετρία της βαρυονικής δεκάδας) των υπερονίων, μοιάζει σαν η Ιστορία της Επιστήμης, να κλείνει πονηρά το μάτι στον Πυθαγόρα. Όχι μόνο γιατί αυτό το γεωμετρικό μόρφωμα, η βαρυονική δεκάδα, είναι ένας συμμετρικός σχηματισμός τεσσάρων στοιχείων που σχηματίζουν δεκάδα.  Αλλά κυρίως διότι το σύμβολο που οι πυθαγόρειοι χαρακτήριζαν «παγάν αενάου φύσεως ρίζωμά τ’ έχουσαν», απεικονίζει ακριβώς αυτό: την αέναη διαδικασία δημιουργίας και καταστροφής σωματιδίων, στο εσώτατο βάθος, στο «ρίζωμα» της ύλης. (Η λέξη «ρίζωμα», στον πυθαγόρειο Εμπεδοκλή, τον «εισηγητή» των 4 ριζωμάτων, έχει ακριβώς την έννοια της θεμελιώδους αρχής του φυσικού κόσμου»).

Ποιο ήταν το «ρίζωμα», η θεμελιώδης αρχή του φυσικού κόσμου, κατά τον Πυθαγόρα; Δεν ξέρουμε τι «αυτός έφα», όμως ξέρουμε, κατά κάποιον τρόπο, τι πρέσβευαν κάποιοι περί αυτόν.  Ο τραγικός Ιππασος ο Μεταποντίνος λοιπόν (αυτός που, κατά τον Ιάμβλιχο, είχε την καθοδήγηση των ακουσματικών στη Σχολή, και που κατά πολλούς σύγχρονους μελετητές θεωρείται ο σημαντικότερος στοχαστής του πρώτου πυθαγόρειου κύκλου) θεωρούσε ότι η αρχή των πάντων είναι το πυρ.  Ο Αριστοτέλης (στα Μετά τα Φυσικά, 984α) βεβαιώνει ότι «᾿Αναξιμένης δὲ ἀέρα καὶ Διογένης πρότερον ὕδατος καὶ μάλιστ' ἀρχὴν τιθέασι τῶν ἁπλῶν σωμάτων, ῞Ιππασος δὲ πῦρ ὁ Μεταποντῖνος καὶ ῾Ηράκλειτος ὁ ᾿Εφέσιος». Ο Σιμπλίκιος αναφέρει ότι «ο Ιππασος ο Μεταποντίνος και ο Ηράκλειτος ο Εφέσιος, πιστεύουν και αυτοί μιαν αρχή μοναδική,  που  κινείται  και είναι πεπερασμένη, αλλά είναι το πυρ που δέχονται ως αυτή την αρχή’ από το πυρ τα όντα γεννιούνται με τη συμπύκνωση και την αραίωση, και είναι μέσα στο πυρ που τα πράγματα διαλύονται και πάλι, με τρόπον ώστε αυτή η ουσία να είναι το μόνο υπόβαθρο της φύσης».

Ο ‘Ιππασος και ο Ηράκλειτος έζησαν την ίδια εποχή- οπότε, όποιες κι αν ήταν οι σχέσεις μεταξύ τους3, είναι βέβαιο ότι χρησιμοποιούν τη λέξη πυρ με την ίδια έννοια.

Αφήνω τη λέξη «πυρ» αντί για τη «φωτιά» στην οποία είθισται να μεταφράζεται το «πυρ», γιατί βέβαια, το «πυρ» των προσωκρατικών, δεν είναι αυτό που  σήμερα εμείς λέμε «φωτιά».

Στον Τίμαιο του Πλάτωνος διευκρινίζεται ότι «υπάρχουν πολλά είδη πυρός» και κατονομάζονται ενδεικτικά το φως, η θερμότητα και η φλόγα (Τίμαιος, 58c). Αυτά πιστεύω ότι μας νομιμοποιούν να θεωρήσουμε το «πυρ» ως έννοια που αντιστοιχεί σ’ αυτό που σήμερα ονομάζουμε «ενέργεια». Κατά τον ίδιο τρόπο αντιλαμβάνεται το νόημα της λέξης στα «περί φύσεως» των προσωκρατικών, ο οποιοσδήποτε σημερινός θετικός επιστήμων.  Ο (μαθηματικός) Β. Σπανδάγος λέει για τον Ηράκλειτο: «Δίδασκε ακόμα ότι από το «πυρ» (δηλαδή από την ενέργεια) προέρχονται τα πράγματα (δηλαδή η ύλη) και ότι από τα πράγματα (δηλαδή από την ύλη) προέρχεται το «πυρ» (η ενέργεια).  [...] Το «πυρ» φυσικά του Ηρακλείτου δεν πρέπει να θεωρηθεί η ορατή φλόγα. Κατά τον Αριστοτέλη, το «πυρ» αυτό είναι μια δυναμική ουσία, κάτι περισσότερο από μια φυσική ενέργεια. Πολλοί μελετητές του Ηρακλείτου θεωρούν το «πυρ» ως μια μορφή ενέργειας βασιζόμενοι στις αντιλήψεις της σύγχρονης φυσικής που παραδέχεται την ταύτιση μάζας και ενέργειας.»4

Στους μελετητές του Ηράκλειτου (και όλων των προσωκρατικών, καθώς και του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη) συγκαταλέγεται κι ο W. Heisenberg, ένας από τους σκαπανείς της κβαντικής φυσικής5. Κι επισημαίνει ότι «αν  αντικαταστήσει κανείς τη λέξη «φωτιά» με τη λέξη «ενέργεια», τότε μπορεί να θεωρήσει τις αποφάνσεις του Ηράκλειτου σχεδόν λέξη προς λέξη σαν έκφραση της σύγχρονης αντίληψής μας»6.

Να μερικές αποφάνσεις του Ηράκλειτου περί του πυρός:

- κόσμον τόνδε, τὸν αὐτὸν ἁπάντων, οὔτε τις θεῶν οὔτε ἀνθρώπων ἐποίησεν, ἀλλ᾽ ἦν ἀεὶ καὶ ἔστιν καὶ ἔσται πῦρ ἀείζωον ἁπτόμενον μέτρα καὶ ἀποσβεννύμενον μέτρα.

- Τὰ δὲ πάντα οἰακίζει Κεραυνὸς, τουτέστι κατευθύνει, κεραυνὸν τὸ πῦρ λέγων τὸ αἰώνιον λέγει δὲ καὶ φρόνιμον τοῦτο εἶναι τὸ πῦρ καὶ τῆς διοικήσεως τῶν ὅλων αἴτιον· (όλα τα κυβερνάει ο κεραυνός, δηλαδή τα κατευθύνει΄ κεραυνό λέγοντας [ο Ηράκλειτος] το πυρ το αιώνιο. Λέει δε ότι το πυρ αυτό είναι και νοήμον και το αίτιον της διοικήσεως των πάντων)

- πυρός τε ἀνταμοιβὴ τὰ πάντα καὶ πῦρ ἁπάντων ὅκωσπερ χρυσοῦ χρήματα καὶ χρημάτων χρυσός.  (Τα πάντα ανταλλάσσονται με το πυρ και με τα πάντα το πυρ, όπως τα εμπορεύματα με το χρυσάφι, και το χρυσάφι με τα εμπορεύματα)

Η αντιστοιχία της λέξη; «πυρ» με την σημερινή έννοια «ενέργεια»,  είναι  σαφής.

Αξίζει όμως να δούμε πώς ερμηνεύει την ορολογία των προσωκρατικών για τα«ριζώματα» κι ένας φημισμένος θετικός επιστήμων του 19ου αιώνα.  Ο Marcelin Berthelot (1827-1907) ήταν χημικός- από τους θεμελιωτές της θερμοχημείας, εφευρέτης και του ομώνυμου θερμιδόμετρου- ιστορικός της χημείας, φιλόσοφος και πολιτικός (διετέλεσε και επί διετία υπουργός Παιδείας της Γαλλίας). Με βάση τις μελέτες του Berthelot για το Ζώσιμο, ο Καρλ Γιουνγκ έγραψε το δοκίμιο «οι ρίζες της συνείδησης - αλχημικές μελέτες».            Το 1884 ο Berthelot δημοσίευσε τη μελέτη «Les anciens alchimistes Grecs et la naissance de l’ alchimie” : «Οι αρχαίοι έλληνες αλχημιστές και η γένεση της αλχημείας» .  Αναφερόμενος στα 4 «στοιχεία» της ύλης, λέει : «Η γη είναι το σύμβολο και η βάση της στερεάς κατάστασης και της ξηρότητας. Το νερό που λαμβάνεται άλλοτε δια του πυρός, η τήξη, και άλλοτε με τη διάλυση, είναι σύμβολο της υγρότητας και μάλιστα του ψύχους.  Ο αέρας είναι το σύμβολο και το θεμέλιο της εξάτμισης και της αέριας κατάστασης. Το πυρ είναι το πιο λεπτό απ’ όλα και αντιστοιχεί στην ουσία του αιθεριώδους ρευστού, είναι συμβολικός φορέας του φωτός, της θερμότητας, του ηλεκτρισμού και του φαινομένου της κίνησης των εσχάτων μορίων των σωμάτων.  Αρα για τον Εμπεδοκλή και τους διαδόχους του ήταν τα στοιχεία όλων των όντων».  Αρα, και για τον Berthelot, θα λέγαμε εμείς, τα «στοιχεία» είναι σύμβολα καταστάσεων της ύλης και όχι κυριολεκτικοί προσδιορισμοί νερού, φωτιάς και ατμοσφαιρικού αέρα.            Πάντως,  σήμερα επιστρέφουμε πάλι στο σχήμα της  τετρακτύος , για να συμβολίσουμε ακριβώς μια πηγή ενέργειας, που τροφοδοτεί το σύμπαν ολόκληρο.             Κι όσο για τον όρκο, όπως λέει κι ο Αριστοτέλης, (ΜτΦ, 983b) Ὠκεανόν τε γὰρ καὶ Τηθὺν ἐποίησαν τῆς γενέσεως πατέρας, καὶ τὸν ὅρκον τῶν θεῶν ὕδωρ, τὴν καλουμένην ὑπ' αὐτῶν Στύγα [τῶν ποιητῶν]: τιμιώτατον μὲν γὰρ τὸ πρεσβύτατον, ὅρκος δὲ τὸ τιμιώτατόν ἐστιν.  Ορκίζεται κάποιος σ’ αυτό που θεωρεί άξιον υψίστης τιμής – και άξιον υψίστης τιμής,  θεωρείται το πρεσβύτατο, το πιο παλιό. Γιαυτό λέει, κι οι θεοί ορκίστηκαν στο ύδωρ της Στυγός.  Υπό το πρίσμα δε της νέας φυσικής, τα ενεργειακά μορφώματα που διατάσσονται κατά την βαρυονική δεκάδα, ανήκουν στις πρωταρχικές, αρχέγονες πηγές της ύλης.

Τι σημαίνουν ολ’ αυτά λοιπόν; Ότι ήξερε ο Πυθαγόρας αυτά που σήμερα γνωρίζουμε για τον υποατομικό κόσμο;  Δεν πρόκειται να ισχυριστώ κάτι τέτοιο. Ας πούμε κατ’ αρχήν, ότι πρόκειται απλώς για σύμπτωση- μια γοητευτική σύμπτωση. Και, μιάς κι ο λόγος περί συμπτώσεων, ας επισημάνουμε ακόμη μία, ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα σύμπτωση.

Οι Αριθμοί των πυθαγορείων και η δομή της ύλης

Συνδυάζοντας την 4η και την 5η τετρακτύ (και αναπαράγοντας ουσιαστικά, τον πυθαγόρειο Φιλόλαο) λέει ο Πλάτων στον Τίμαιο: «Σύμφωνα λοιπόν και με τον ορθόν λόγον και με το πιθανόν, το στερεό σχήμα της πυραμίδος είναι το στοιχείον και το σπέρμα του πυρός’ το δε δεύτερον κατά την σειράν της γεννήσεως (το κανονικόν οκτάεδρον) ας το ονομάσωμεν στοιχείον του αέρος, το δε τρίτον (το κανονικόν εικοσάεδρον) του ύδατος. Όλα λοιπόν αυτά τα σχήματα πρέπει να τα συλλαμβάνωμεν με τον νουν τόσον μικρά, ώστε ένα έκαστον από κάθε είδος μόνον είναι τελείως αόρατον από ημάς, όταν δε πολλά συναθροισθούν μαζί, τότε φαίνονται οι όγκοι των. Και ως προς τας αναλογίας των εις τας ποσότητας και τας κινήσεις και τας άλλας ιδιότητάς των, πρέπει να έχομεν υπ’ όψιν ότι ο θεός παντού όπου το στοιχείον της ανάγκης εκουσίως και πειθόμενον υπεχώρει εις αυτόν, τα ενηρμόνισε κατά μαθηματικάς σχέσεις, αφού προηγουμένως τα απετελείωσεν με ακρίβειαν» 7.

Πρόκειται για μια μοριακή ή μάλλον, ατομική θεωρία, όπου τα στοιχειώδη τρίγωνα που αναφέρει ο Πλάτων σε προηγούμενα χωρία (53d-55c), συνθέτουν τρισδιάστατες μορφές, αόρατες λόγω της σμικρότητάς τους, οι οποίες στη συνέχεια συναθροίζονται και σχηματίζουν ορατά σώματα. Στη συνέχεια του άρθρου θα αναφερθούμε εκτενέστερα σ’ αυτή την «ατομική θεωρία» (η οποία, πυθαγόρειων καταβολών κι αυτή,  είναι σαφώς πιο «ατομική», επεξεργασμένη και αιτιολογημένη  απ’ αυτή του Δημόκριτου) καθώς και στο πώς την σχολιάζει ο W. Heisenberg. Προς το παρόν, ας σταθούμε στην αντιστοίχιση

Πυρ-> πυραμίς

8-εδρο -> αήρ

20-εδρο -> ύδωρ

και κυβος (6-εδρο) ->γη (που αναφέρεται στο χωρίο 55d).

Ο Πλάτων δίνει κάποιες ευλογοφανείς ερμηνείες γι’ αυτή την αντιστοίχιση, ωστόσο, όπως σημειώνει ο J. F. Mattei «η απονομή των τεσσάρων πολυέδρων στα τέσσερα στοιχεία, και ο πρωτότυπος ρόλος που χορηγείται από τον Τίμαιο στο δωδεκάεδρο ώστε να ενσαρκώσει τη σφαίρα του Παντός, συνιστά ένα από τα πλέον ακανθώδη ζητήματα της ελληνικής φιλοσοφίας και, για πολλούς, πραγματικό αίνιγμα. Να ανάγεται στον πρώτο πυθαγορισμό, στον Φιλόλαο ίσως, ή να είναι καθαρά πλατωνική επινόηση;»8

Εδώ δεν θα επιχειρήσουμε να λύσουμε αυτό το «ακανθώδες ζήτημα», αλλά να επισημάνουμε μια «σύμπτωση». Κι ας αρχίσουμε, ξεκαθαρίζοντας τι περιλαμβάνουν οι όροι πυρ, αήρ, ύδωρ και γη.

Σχετικά με το «πυρ», είπαμε ήδη ότι αντιστοιχεί σ’ αυτό που σήμερα ονομάζουμε ενέργεια.

Στο είδος «αήρ» ανήκουν τα αέρια σώματα: «κατὰ ταὐτὰ δὲ ἀέρος, τὸ μὲν εὐαγέστατον ἐπίκλην αἰθὴρ καλούμενος, ὁ δὲ θολερώτατος ὁμίχλη τε καὶ σκότος, ἕτερά τε ἀνώνυμα εἴδη, γεγονότα διὰ τὴν τῶν τριγώνων ἀνισότητα.» (58d).

Στο είδος «ύδωρ» τοποθετούνται τα υγρά και κάποια μέταλλα («χυτά»). Στον Τίμαιο αναφέρονται συγκεκριμένα ο χρυσός και ο χαλκός.

Στη «γη» περιλαμβάνονται, όπως μας λέει ο Τίμαιος,  τα πετρώματα, τα άλατα, η κέραμος και η λάβα.

Ας ρίξουμε τώρα μια ματιά στον περιοδικό πίνακα των στοιχείων.

Παρατηρούμε λοιπόν ότι:

Οσον αφορά στον «αέρα» (8-εδρο) : Η ομάδα των ευγενών αερίων, έχει 8 ηλεκτρόνια στην εξώτατη στιβάδα του ατόμου (εκτός από το ήλιον, που έχει 2). Τα ευγενή αέρια τα βρίσκουμε στη φύση μόνον ελεύθερα, γιατί, έχοντας συμπληρωμένη την εξωτερική τους στιβάδα, είναι αδρανή (δεν αντιδρούν με άλλα στοιχεία για να σχηματίσουν ενώσεις- υπό κανονικές συνθήκες εννοείται). Τα υπόλοιπα αέρια του Π.Σ. τα βρίσκουμε συνήθως σε ενώσεις.

Οσον αφορά στο «ύδωρ» (20-εδρο): Το μόνο υγρό, υπό συνήθη θερμοκρασία, σώμα είναι ο υδράργυρος.  Αυτός λοιπόν έχει 20 ηλεκτρόνια στις εξώτατες στιβάδες του (18+2). Ο ψευδάργυρος, που επίσης ανήκει στα μέταλλα,  κι ήταν γνωστός στην αρχαία Ελλάδα, έχει κι αυτός 20. Ο χαλκός κι ο χρυσός, που αναφέρονται ρητά στον Τίμαιο, έχουν (όπως κι ο άργυρος) 19 ηλεκτρόνια.

Αλλά, γιατί θα 'πρεπε να δώσουμε ιδιαίτερη σημασία στην εξώτατη στιβάδα; Μήπως είναι αυθαιρεσία να σταθούμε σ’ αυτήν, για να μας «βγουν» τα νούμερα; Μάλλον όχι, αφού είναι γνωστό απ’ το γυμνάσιο ακόμα, ότι:

οι ιδιότητες των στοιχείων εξαρτώνται απ’ τη δομή των ατόμων τους

τα στοιχεία που τα άτομά τους έχουν ανάλογη ηλεκτρονική δομή ιδιαίτερα στην εξωτερική στιβάδα, έχουν και ανάλογες ιδιότητες

η ικανότητα των στοιχείων να ενώνονται μεταξύ τους, καθορίζεται από τις ελκτικές δυνάμεις που εξασκούν οι πυρήνες στα εξωτερικά ηλεκτρόνια, έκφραση των οποίων είναι η ενέργεια ιονισμού, η ηλεκτρονική συγγένεια και η ηλεκτραρνητικότητα.

Ιδιαίτερο ακόμα ενδιαφέρον παρουσιάζει και η αντιστοίχιση του αριθμού των ηλεκτρονίων με τον αριθμό των εδρών (δηλ. επιφανειών) των κανονικών στερεών. Διότι τελευταίως, με την εξέλιξη της κβαντομηχανικής, τα ηλεκτρόνια απεικονίζονται μάλλον σαν επιφάνειες (λόγω της κυματοσυνάρτησης), παρά σαν σημεία.

Πηγή : John Gribbin, ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, στη ΣΕΙΡΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ, εκδ. ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ

Οσον αφορά στη «γη»: Τα πετρώματα (ορυκτά) χαρακτηρίζονται από την κρυσταλλική τους δομή. Οι δομικές μονάδες των κρυστάλλων μπορεί να είναι άτομα, μόρια ή ιόντα. Ας δούμε το κρυσταλλικό πλέγμα:

Εικόνα ...  Κρυσταλλικό πλέγμα

Εδώ βλέπουμε μια σχηματοποίηση των έξι κρυσταλλικών συστημάτων

The Six Crystal Systems (http://metafysica.nl/crystal_classes.html)

Ας δούμε ακόμα τη δομή (κρυσταλλικό πλέγμα) κάποιων αλάτων:

Η παρουσία του 6-εδρου, είτε απ’ ευθείας στο κυβικό σύστημα, είτε σαν μη-κανονικό εξάεδρο στα άλλα συστήματα, είναι κυρίαρχη. Στην πραγματικότητα, έχουμε το κυβικό σύστημα, ισομετρικό στον χώρο, τα δε υπόλοιπα, μοιάζουν με κύβους  «ζουληγμένους» ή επιμηκυμένους, προς τη μια ή την άλλη κατεύθυνση.

Σχετικά με το «πυρ», δηλαδή την ενέργεια:             Στο έργο του Marcelin Berthelot  «Οι αρχαίοι έλληνες αλχημιστές και η γένεση της αλχημείας» (ελλ. έκδοση 2002 από τις εκδόσεις ΚΟΡΟΝΤΖΗ), το οποίο βασίστηκε στην μελέτη αυθεντικών ελληνικών χειρογράφων, ο συγγραφέας παραθέτει αποσπάσματα, μεταξύ άλλων και του αλχημιστή Ολυμπιόδωρου. Κατά τον Berthelot «ο Ζώσιμος και ο Ολυμπιόδωρος, είναι οι πρώτοι αξιόπιστοι αλχημιστές συγγραφείς». Σ’ ένα απόσπασμα λοιπόν του Ολυμπιόδωρου, διαβάζουμε: «Ασφαλώς το πρώτο αίτιο και μάλιστα όλης της τέχνης είναι το πυρ, που είναι και το πρώτο από τα τέσσερα στοιχεία. Ετσι ασφαλώς σκέπτονταν οι αρχαίοι΄ τα τέσσερα στοιχεία εννοούν την τέχνη. Και για να είναι ακριβής η αρετή σου κοίταξε τις τέσσερεις βίβλους του Δημόκριτου όπου μίλησε για τα τέσσερα στοιχεία ως φυσικός. Και λέει ότι υπάρχει το χαμηλό πυρ, το λάβρο και ο άνθρακας, και κοντά σ’ αυτό είναι όλα όσα έχουν σχέση με το πυρ.» Ο άνθρακας βέβαια του Ολυμπιόδωρου, είναι το κάρβουνο, στο οποίο αναφέρεται και ο Πλάτων, όταν λέει ότι «υπάρχουν πολλά είδη πυρός, όπως η φλόγα, κι αυτό που προέρχεται από τη φλόγα χωρίς να καίει και δίνει στα μάτια το φως, κι αυτό που απομένει στα διάπυρα σώματα όταν η φλόγα σβήσει»9. Το κάρβουνο, είναι ως γνωστόν ο ξυλάνθρακας - τον οποίο οι αρχαίοι  έλληνες χρησιμοποιούσαν στις τεχνικές κατεργασίας μετάλλων, απ’ την εποχή τουλάχιστον που λειτουργούσαν τα μεταλλεία στο Λαύριο. Είναι δε πασίγνωστο το περί της «τετρασθένειας» του άνθρακα, η οποία οφείλεται  ακριβώς στα 4 ηλεκτρόνια της εξώτατης στιβάδας του. Αυτή η τετρασθένεια είναι επίσης και η αιτία για την οποία ο άνθρακας έχει πολλά εκατομμύρια ενώσεις, κι αποτελεί μια από τις μεγαλύτερες πηγές ενέργειας στον πλανήτη.               Μιάς και μιλήσαμε για το ξυλοκάρβουνο όμως, ας δούμε κι ένα ακόμα στερεό που συνδέεται με τη φωτιά, από αρχαιοτάτων χρόνων, όπως δηλώνει και τα’ όνομά του: πυρόλιθος. Τα πρώτα εργαλεία από πυρόλιθο, ανάγονται στους προϊστορικούς χρόνους.  Στον πυρόλιθο κυριαρχεί το στοιχείο που, όταν εντοπίστηκε, ονομάστηκε πυρίτιο. Το πυρίτιο ανήκει στην ίδια ομάδα με τον άνθρακα, είναι τετρασθενές και, φυσικά, στην εξώτατη στιβάδα του ατόμου του, κυκλοφορούν 4 ηλεκτρόνια.              Το πυρίτιο απαντά στη φύση ενωμένο πάντα με το οξυγόνο. Δομική μονάδα του είναι το SiO4 , όπου το πυρίτιο βρίσκεται στο κέντρο ενός υποθετικού τετραέδρου, και στις κορυφές του τετραέδρου βρίσκονται τα άτομα του οξυγόνου με τα οποία το πυρίτιο συνδέεται. Ωστόσο, η μεγαλύτερη πηγή ενέργειας βρίσκεται στο εσωτερικό των άστρων, εκεί που παράγονται μεταξύ άλλων και τα υπερόνια. Η «12η  τετρακτύς»,  η βαρυονική δεκάδα που σχηματοποιεί  αυτούς τους «φορείς», ας πούμε, της ροής ενέργειας στο υποπυρηνικό επίπεδο, φτιάχνει, όπως βλέπουμε, μια πυραμίδα.

Κάτι που πρέπει να επισημάνουμε σ’ όλες αυτές τις συμπτώσεις, είναι ότι -κατά σύμπτωση- αφορούν στην εσώτατη δομή της ύλης. Κι ακόμα, ότι αναφέρονται σε σχήματα και αριθμούς’ παραστάσεις που μπορούν να σωθούν στο διάβα του χρόνου, ακόμα κι αν έχουν χαθεί λεκτικές περιγραφές, σχόλια, επεξηγήσεις.

Η «σύμπτωση» προέρχεται από το «συμπίπτω» που, κατά λέξη, σημαίνει «ταιριάζω», «συνταυτίζομαι».  Συνήθως όμως τη λέμε για να εκφράσουμε την τυχαία συνταύτιση. Ίσως αξίζει λοιπόν, πριν αποφανθούμε  οριστικά και για την τυχαιότητα των παραπάνω ταυτίσεων, να εξετάσουμε λεπτομερέστερα τη γνώση των ανθρώπων που χρησιμοποίησαν αυτές τις κωδικοποιήσεις- και ίσως η πιό πρόσφορη, όσο και αξιόπιστη πηγή, είναι ο Τίμαιος του Πλάτωνος.

_____________________________________

1 Θέωνος Σμυρναίου ΤΩΝ ΚΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΝ ΧΡΗΣΙΜΩΝ ΕΙΣ ΤΗΝ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΑΝΑΓΝΩΣΙΝ, εκδ. ΑΙΘΡΑ

2 Φρανκ Κάπρα, ΤΟ ΤΑΟ ΚΑΙ Η ΦΥΣΙΚΗ, εκδ. Ωρόρα

3 Ο Διογένης ο Λαέρτιος  αναφέρει για τον Ηράκλειτο ότι «ο Σωτίων όμως λέει ότι μερικοί είπαν ότι υπήρξε μαθητής του Ξενοφάνη» (ΔΙΟΓΕΝΗΣ ΛΑΕΡΤΙΟΣ ΙΧ).  Ο Ξενοφάνης είχε σχέσεις με τους πυθαγόρειους κύκλους, ασχέτως αν διαφοροποιήθηκε ως προς τις απόψεις του. Στον Σουϊδα δε, στο λήμμα Ηράκλειτος, γράφει : «Εφέσιος, φιλόσοφος φυσικός, ος επεκλήθη Σκοτειν’ος. Ούτος εμαθήτευσεν ουδενί των φιλοσόφων, φύσει δε και επιμελεία ησκήθη. […] τινές δε αυτόν έφασαν διακούσαι Ξενοφάνους και Ιππάσου του Πυθαγορείου». (διακούω, κατά το Liddel-Scot, σημαίνει είμαι ακροατής ή μαθητής τινός)

4 Βαγγέλη Σπανδάγου ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΑΣ ΕΛΛΑΔΟΣ, εκδ. ΑΙΘΡΑ

5Θεμελιωτές της κβαντικής φυσικής, θεωρούνται ο W. Heisenberg,  ο Max Born, ο E. Schroedinger και, κατά τη συνήθη ειρωνία της Ιστορίας,  ο A. Einstein (η ειρωνία έγκειται στο ότι η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας και η Κβαντομηχανική αλληλοσυγκρούονται).  Ο Heisenberg στις διαλέξεις και τα βιβλία του κάνει εκτεταμένες αναφορές στους αρχαίους έλληνες φυσικούς φιλόσοφους, τους οποίους είχε μελετήσει εξονυχιστικά. Ο Schroedinger  (ο οποίος εντρύφησε επίσης και στις φιλοσοφίες της ανατολής) είχε παρακολουθήσει μαθήματα αρχαίων ελληνικών και προσπαθούσε να μελετήσει αυτή τη γραμματεία στο πρωτότυπο’ έχει συγγράψει δε και δοκίμιο με τίτλο Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ. Ο δε Einstein, ήταν ακραιφνής πλατωνιστής.

6 Werner Heisenberg ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ, εκδ. ΚΑΛΒΟΣ, Αθήνα 1978

7 ΠΛΑΤΩΝΟΣ Τίμαιος (56 b-c), εκδ. ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ, μετάφραση Θ. Βλυζιώτης, Χ. Παπαναστασίου

8 J. F. MATTEI Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι, εκδ. Καρδαμίτσα, Αθήνα 1995

9 ΠΛΑΤΩΝΟΣ Τίμαιος (58c-d)