Η αντικειμενικότητα του απείρου

 

Η θεωρία συνόλων ως κλάδος των μαθηματικών επινοήθηκε το 19^ο αιώνα, με πρωτεργάτη το Γερμανό μαθηματικό Γκέοργκ Κάντορ. Ασχολείται με τις σχέσεις μεταξύ συνόλων, συλλογών από αντικείμενα δηλαδή που μπορεί να είναι από κενά (το αντίστοιχο του μηδενός), μέχρι άπειρα σε μέγεθος. Η θεωρία συνόλων αποδείχτηκε

ένας πολύ χρήσιμος τρόπος για να περιγραφούν τα μαθηματικά αντικείμενα, και σύντομα απέκτησε πολύ καίρια θέση στα μαθηματικά. 

Ολόκληρο το οικοδόμημα των μαθηματικών (τουλάχιστον ό,τι σχετίζεται με τη θεωρία συνόλων) στηρίζεται σε ένα σύνολο από εννέα αξιώματα, που ονομάζονται ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of Choice), κανόνες δηλαδή που θεωρούνται πως ισχύουν άνευ αποδείξεως, και αποτελούν τη βάση πάνω στην οποία αναπτύσσονται τα μαθηματικά θεωρήματα. Οι κανόνες ZFC υιοθετηθήκαν τη δεκαετία του 1920 ώστε να διευθετήσουν ζητήματα όπως το παράδοξο του Ράσελ (εάν το σύνολο των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους, περιέχει τον εαυτό του).

Παρόλο το συμπαγές οικοδόμημα που κατασκευάστηκε με υλικά τα εννέα αυτά αξιώματα, παρέμειναν ορισμένες «τρύπες», οι οποίες ανησυχούν όσους ειδικεύονται με τη μαθηματική λογική. Μία από τις πιο σημαντικές «τρύπες», αποτελεί η υπόθεση της συνέχειας, που προτάθηκε από τον πατέρα της θεωρίας συνόλων Γκέοργκ Κάντορ το 1878, η οποία ασχολείται με τα διαφορετικά μεγέθη του άπειρου: για παράδειγμα οι ακέραιοι αριθμοί και οι πραγματικοί αριθμοί (αριθμοί με δεκαδικά ψηφία, που υποδηλώνουν μία συνέχεια)  είναι και τα δύο άπειρα σύνολα, όμως οι δεύτεροι είναι περισσότεροι από τους πρώτους.  

Η υπόθεση της συνέχειας υποστηρίζει πως δεν υπάρχει άπειρο σύνολο του οποίου το μέγεθος να είναι μεταξύ του μεγέθους των ακεραίων και των συνεχών (πραγματικών) αριθμών. Η συγκεκριμένη υπόθεση θα πρέπει να είναι είτε αληθής είτε ψευδής, και όπως έγραψε ο μεγάλος μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ τo 1947 «το γεγονός πως δε μπορούμε να αποφανθούμε για αυτό με τα σημερινά αξιώματα σημαίνει πως τα αξιώματα αυτά δεν επαρκούν για μία ολοκληρωμένη περιγραφή της πραγματικότητας». Ο Γκέντελ είχε ήδη γίνει διάσημος, όταν σε ηλικία 25 χρόνων δημοσίευσε το θεώρημα της μη πληρότητας, το οποίο εν πολλοίς υποδείκνυε τη μη πληρότητα των μαθηματικών αξιωμάτων.

H προσθήκη ενός ακόμη αξιώματος στα θεμέλια των μαθηματικών έχει γίνει έκτοτε διακαής πόθος για ορισμένους μαθηματικούς, με τα επικρατέστερα αξιώματα να είναι δύο ειδών: τα αναγκαστικά αξιώματα (forcing axioms), και το εσωτερικό μοντέλο (inner model) V=απόλυτο L.  Εάν προστεθεί στα ZFC ένα αναγκαστικό αξίωμα, η υπόθεση της συνέχειας αποδεικνύεται ψευδής, ενώ το εσωτερικό μοντέλο V=απόλυτο L, την επαληθεύει. Η επιλογή ωστόσο μεταξύ των δύο υποψήφιων αξιωμάτων, φαίνεται να μην είναι τόσο απλή υπόθεση, καθώς επηρεάζει όλο το μαθηματικό οικοδόμημα.

Η προσθήκη ενός αναγκαστικού αξιώματος θεωρείται πως θα αποβεί πιο προσοδοφόρα για την έρευνα στα μαθηματικά, καθώς ανοίγει περισσότερες προοπτικές. Το μοντέλο V=απόλυτο L από την άλλη, φαίνεται πως περιέχει περισσότερους σπόρους αλήθειας. Όπως υποστηρίζουν πολλοί μαθηματικοί, η επιλογή μεταξύ των δύο υποψηφίων σχετίζεται άμεσα με τη φύση του άπειρου. «Ποια αντικείμενα είναι πραγματικά άπειρα στον πραγματικό κόσμο;», διερωτάται ο μαθηματικός Στέφεν Σίμσον, του πανεπιστημίου της Πενσυλβάνια, υποστηρίζοντας στη συνέχεια πως εάν ο πραγματικός κόσμος δεν περιέχει άπειρα αντικείμενα, το ίδιο θα έπρεπε να ισχύει και για τα μαθηματικά που τον περιγράφουν.

Υποστηρικτές και των δύο ομάδων, συναντήθηκαν πρόσφατα στο πανεπιστήμιο Χάρβαρντ, προκειμένου να παρουσιάσουν τις τελευταίες εξελίξεις γύρω από το θέμα. Σε αυτό που βρέθηκαν όλοι σύμφωνοι ήταν πως η «διαμάχη» θα συνεχιστεί για αρκετό καιρό ακόμη, μέχρι ένα από τα δύο υποψήφια νέα αξιώματα να φανεί καθαρά πως είναι υποδεέστερο του άλλου. Έως τότε, η αντίληψή μας για το άπειρο θα παραμένει ανθρώπινα ατελής, και τα μαθηματικά θα στερούνται της απόλυτης αντικειμενικότητας που έχουν ανάγκη.