Το κόσκινο του Ερατοσθένη

( Ερατοσθένης ο Κυρηναίος 276-198 π.Χ.)

Πρώτος είναι ο αριθμός που διαιρείται ΜΟΝΟ με τον εαυτό του και τη μονάδα. 

Ο Ερατοσθένης επινόησε μια μέθοδο για την εύρεση της ακολουθίας των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του ν, η οποία περιγράφεται ως εξής: (Ένα παράδειγμα μέχρι το 300)

Κρατάμε τον πρώτο αριθμό 2 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του, 

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192	193	194	195	196	197	198	199	200
201	202	203	204	205	206	207	208	209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220
221	222	223	224	225	226	227	228	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240
241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252	253	254	255	256	257	258	259	260
261	262	263	264	265	266	267	268	269	270	271	272	273	274	275	276	277	278	279	280
281	282	283	284	285	286	287	288	289	290	291	292	293	294	295	296	297	298	299	300

στη συνέχεια κρατάμε τον επόμενο πρώτο αριθμό (3) και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του,

	2	3		5		7		9		11		13		15		17		19
21		23		25		27		29		31		33		35		37		39
41		43		45		47		49		51		53		55		57		59
61		63		65		67		69		71		73		75		77		79
81		83		85		87		89		91		93		95		97		99
101		103		105		107		109		111		113		115		117		119
121		123		125		127		129		131		133		135		137		139
141		143		145		147		149		151		153		155		157		159
161		163		165		167		169		171		173		175		177		179
181		183		185		187		189		191		193		195		197		199
201		203		205		207		209		211		213		215		217		219
221		223		225		227		229		231		233		235		237		239
241		243		245		247		249		251		253		255		257		259
261		263		265		267		269		271		273		275		277		279
281		283		285		287		289		291		293		295		297		299

συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23		25				29		31				35		37
41		43				47		49				53		55				59
61				65		67				71		73				77		79
		83		85				89		91				95		97
101		103				107		109				113		115				119
121				125		127				131		133				137		139
		143		145				149		151				155		157
161		163				167		169				173		175				179
181				185		187				191		193				197		199
		203		205				209		211				215		217
221		223				227		229				233		235				239
241				245		247				251		253				257		259
		263		265				269		271				275		277
281		283				287		289				293		295				299

κρατάμε το 7 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του,

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23						29		31						37
41		43				47		49				53						59
61						67				71		73				77		79
		83						89		91						97
101		103				107		109				113						119
121						127				131		133				137		139
		143						149		151						157
161		163				167		169				173						179
181						187				191		193				197		199
		203						209		211						217
221		223				227		229				233						239
241						247				251		253				257		259
		263						269		271						277
281		283				287		289				293						299

και πάλι το ίδιο για το 11,

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23						29		31						37
41		43				47						53						59
61						67				71		73						79
		83						89								97
101		103				107		109				113
121						127				131						137		139
		143						149		151						157
		163				167		169				173						179
181						187				191		193				197		199
								209		211
221		223				227		229				233						239
241						247				251		253				257
		263						269		271						277
281		283						289				293						299

συνεχίζουμε με τους 13, και 17

Όταν θέλουμε τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από το ν, αρκεί να διαγράψουμε τα πολλαπλάσια όλων των πρώτων αριθμών p, για τους οποίους ισχύει p² < ν

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23						29		31						37
41		43				47						53						59
61						67				71		73						79
		83						89								97
101		103				107		109				113
						127				131						137		139
								149		151						157
		163				167		169				173						179
181										191		193				197		199
										211
221		223				227		229				233						239
241						247				251						257
		263						269		271						277
281		283						289				293						299

οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 300 είναι:

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97
101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173	179	181	191	193	197
199
211	223	227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281	283	293

Στην πρώτη εκατοντάδα υπάρχουν 25 πρώτοι αριθμοί, στην δεύτερη εκατοντάδα υπάρχουν 21 πρώτοι αριθμοί, στην τρίτη εκατοντάδα υπάρχουν 16 πρώτοι αριθμοί κ.ο.κ. στην εκατοντάδα από 901 μέχρι και το 1000 υπάρχουν μόνο 14.

Στην  πρώτη χιλιάδα υπάρχουν 168 πρώτοι αριθμοί, στην χιλιάδα από 999,901 μέχρι το 1,000,000 υπάρχουν μόνο 8 πρώτοι αριθμοί.

Ο κατάλογος των πρώτων αριθμών μας βοηθά να διαπιστώσουμε πως καθώς οι αριθμοί μεγαλώνουν οι πρώτοι αραιώνουν. Ποτέ όμως δεν τελειώνουν. Ποτέ η αραίωση δεν φτάνει στο μηδέν. 

Το ξεκαθάρισε ο Ευκλείδης τον τρίτο π.Χ αιώνα: ΔΕΝ υπάρχει ο μέγιστος πρώτος αριθμός.