Παράξενα "παιχνίδια" αριθμών

Παίζοντας με τους μαθητές της Β΄'Γυμνασίου παρατηρήσαμε ακόμα μία "περίεργη" ομορφιά των μαθηματικών ενώ βρισκόμασταν στον υπολογισμό των ριζών.
Έπρεπε να γράψουν  τα τετράγωνα των 30 πρώτων αριθμών.

Για να βρούμε κάποιον τρόπο να θυμούνται τα τετράγωνα κάποιων αριθμών μεγαλύτερων του 10, παρατηρήσαμε ότι:

 

α) Το τετράγωνο του 12 -δηλαδή το γινόμενο 12x12- ειναι 144

Ενώ το τετράγωνο του 21, είναι 441!

 

β)Το τετράγωνο του 13, είναι 169,
Ενώ το τετράγωνο του 31... είναι 691!

 

Παρατηρήστε πως αντιστρέφοντας τα ψηφία των αριθμών, αντιστρέφονται και τα ψηφία των τετραγώνων τους!!!

Προσοχή όμως, διότι αυτό δεν ισχύει για όλους τους αριθμούς. Παράδειγμα, το τετράγωνο του 14, είναι 196, ενώ το τετράγωνο του 41 είναι 1681...

Υπάρχουν και κάποιες "τετριμένες" περιπτώσεις, όπως του 10, του 100, του 1000... του 11, του 111, του 1111, του 11111 ....... του 111111111 (9 ψηφία) και του 22.

Πράγματι, το τετράγωνο του 10, είναι 100.

Ενώ το τετράγωνο του 01=1, είναι 001=1!

Επίπλέον, το τετράγωνο του 10....0 (όσα μηδενικά ψηφία κι αν έχει) είναι 10....0 με τα διπλάσια μηδενικά ψηφία. Αν αντιστραφούν τα ψηφία αυτών των αριθμών, πάλι καταλήγουμε στο τετράγωνο του 1, που είναι το 1.

Επίσης, Το τετράγωνο του 11, είναι 121.

Ενώ το τετράγωνο του 11, είναι 121! (αν αντιστρέψουμε τα ψηφία τόσο του 11, όσο και του 121, προκύπτουν οι ίδιοι οι αριθμοί)

Το ίδιο ισχύει και για το 22, του οποίου το τετράγωνο είναι 484.

Όσο για τους αριθμούς 1, 11, 111, 1111, 11111... ισχύει κάτι ακόμα πιο όμορφο!

Το τετράγωνο του 1, είναι 1.

Το τετράγωνο του 11, όπως είπαμε είναι 121.

Το τετράγωνο του 111, είναι 12321.

Το τετράγωνο του 1111, είναι 1234321

Το τετράγωνο του 11111, είναι 123454321

Το τετράγωνο του 111111 είναι 12345654321

Το τετράγωνο του 1111111 είναι 1234567654321

Το τετράγωνο του 11111111 είναι 123456787654321

Το τετράγωνο του 111111111 είναι 12345678987654321

Υπάρχουν πολλές άλλες περιπτώσεις, όπως αυτή των αριθμών της μορφής 101, 1001, 100..01 το τετράγωνο των οποίων είναι 10201, 1002001, 100..0200..01 αντίστοιχα.

Καθώς και των αριθμών της μορφής 202, 2002, 200..02, το τετράγωνο των οποίων είναι 40804, 4008004, 400..0800..04 αντίστοιχα.