Πυθαγόρειες τριάδες

Ορθογώνιο τρίγωνο, λέγεται το τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή.

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών, ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

x² + y² = z²

Οι τριάδες των φυσικών αριθμών x, y, z  που συνδέονται με την σχέση x² + y² = z² λέγονται «Πυθαγόρειες τριάδες».

Παράδειγμα: Το ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές x=3 και y=4 έχει υποτείνουσα:

Οι φυσικοί αριθμοί 3, 4, 5 που ικανοποιούν την ισότητα x² + y² = z² αποτελούν μια  «Πυθαγόρεια τριάδα».

Πόσες τέτοιες τριάδες υπάρχουν;

Άπειρες!

Ο Ευκλείδης (330-275; π.Χ.) έδωσε μια μέθοδο εύρεσης Πυθαγορείων τριάδων:

  Αν λ, μ είναι φυσικοί αριθμοί και λ>μ τότε οι x=λ²-μ²,  y=2λμ,  z= λ²+μ² είναι μια Πυθαγόρεια τριάδα.

             Αν x, y, z  είναι Πυθαγόρεια τριάδα και κ είναι φυσικός αριθμός, τότε οι κx, κy, κz    αποτελούν επίσης Πυθαγόρεια τριάδα.

Αργότερα τον 3ο μ.Χ αιώνα, ο Διόφαντος απέδειξε ότι, από τις παραπάνω προτάσεις του Ευκλείδη προκύπτουν όλες οι Πυθαγόρειες τριάδες.

Για μεγαλύτερους εκθέτες τι ισχύει;

Το 1637 ο Pierre Fermat έγραψε: «Είναι αδύνατο να γράψουμε ένα κύβο ως άθροισμα δυο κύβων, μια τέταρτη δύναμη ως  άθροισμα δυο τετάρτων δυνάμεων ή γενικότερα ένα αριθμό που είναι δύναμη ανώτερη της δεύτερης ως άθροισμα δυο δυνάμεων της ίδιας τάξης.»

Η πρόταση αυτή γνωστή σήμερα ως  «Το τελευταίο θεώρημα του Fermat» μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:  Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 2 τότε η εξίσωση x^ν + y^ν = z^ν δεν επαληθεύεται για καμία τριάδα φυσικών αριθμών.

Η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat ήρθε τρεισήμισι αιώνες αργότερα, στο τέλος του εικοστού αιώνα από τον  Andrew Wiles, αφού προηγουμένως είχε απασχολήσει μεγάλους μαθηματικούς όπως τον Leonard Euler, τον Adrien Marie Legendre, την Sophie Germain, τον Peter Dirichlet, τον Gabriel Lame, τον Joseph Liouville, τον Augustin Cauchy, τον Ernst Kummer και όχι μόνο!