Το Τρίγωνο του Πασκάλ ( Pascal 1623-1662)

1

1      1

1     2     1

1     3     3     1

1     4      6      4     1

1    5     10     10     5    1

1    6     15     20     15     6    1

1    7     21    35     35    21     7    1

1    8    28    56     70     56    28    8    1

1    9   36    84    126    126    84    36   9    1

1   10   45   120   210    252    210  120   45  10  1

1  11   55   165   330   462   462   330   165   55   11  1

1   12   66   220   495   792   924   792   495   220   66  12   1

. . .

Στο τρίγωνο του Πασκάλ κάθε αριθμός από την τρίτη γραμμή και κάτω, εκτός από τις μονάδες, είναι το άθροισμα των αριθμών της προηγούμενης γραμμής, που είναι πιο κοντά του.

Ιδιότητα : Η πρώτη γραμμή έχει έναν αριθμό, η δεύτερη γραμμή έχει δυο αριθμούς, η τρίτη γραμμή έχει τρεις αριθμούς, κ.ο.κ. Η ν-οστή γραμμή έχει ν αριθμούς.

Ιδιότητα : Οι αριθμοί της ν-οστής γραμμής είναι συντελεστές του αναπτύγματος . Παράδειγμα: Το ανάπτυγμα του έχει συντελεστές 1. 4, 6, 4, 1 τους αριθμούς της πέμπτης γραμμής. 

Ιδιότητα : Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι ίσο με μια δύναμη του 2. Για την ακρίβεια το άθροισμα των αριθμών της ν-οστής γραμμής είναι ίσο με  

Ιδιότητα :                    Οι αριθμοί   1,   1,    2,    3,    5,    8,  13,    21, ...

                                                 1
                                                 1    1
                                                 1    2     1
                                                 1    3     3     1
                                                 1    4     6     4     1
                                                 1    5    10   10    5     1
                                                 1    6    15   20   15    6    1
                                                 1    7    21   35   35   21   7    1

που είναι τα αθροίσματα των αριθμών του σχήματος, είναι οι όροι της ακολουθίας που είναι γνωστή με το όνομα "ακολουθία Fibonacci". Ο κάθε όρος της ακολουθίας αυτής από τον τρίτο και μετά είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων. 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, κλπ

Ιδιότητα : Αν στο τρίγωνο του Πασκάλ χρωματίσουμε τα πολλαπλάσια του 2 σχηματίζονται ισόπλευρα τρίγωνα,

με πλευρές 1, 3, 7, 15, ... αριθμούς. Αν χρωματίσουμε τα πολλαπλάσια του 3 σχηματίζονται ισόπλευρα τρίγωνα, ρόμβοι, ορθογώνια  κ.λ.π.