Μπορούμε να φέρουμε εξάρες με το ζόρι;

 

 

 

Καλώς ή κακώς, οι γιορτινές μέρες που έρχονται εκτός από όλα τα άλλα έχουν συνδεθεί και με τη θεά Τύχη και τα παιχνίδια της. Αν εφέτος αντί για την παραδοσιακή τριανταμία προτιμήσετε να στραφείτε σε κάτι διαφορετικό, μία από τις προτάσεις των μεγαλύτερων καζίνων του κόσμου είναι τα ζάρια. Προτού αποφασίσετε να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας σε αυτό το παιχνίδι - το οποίο εύκολα από τις «επαγγελματικές» αίθουσες μπορεί να μεταφερθεί στο σαλόνι του σπιτιού σας - φανταζόμαστε ότι θα θέλατε να ξέρετε ποιες είναι οι πιθανότητές σας να φύγετε κερδισμένος από το τραπέζι.

Δυστυχώς αυτή είναι μια ερώτηση στην οποία κανένας δεν μπορούσε να σας απαντήσει με σαφήνεια - τουλάχιστον ως τώρα. Οι πιθανότητες που διέπουν το «ρίξιμο» του ζαριού είναι ένα πρόβλημα που έχει απασχολήσει μερικά από τα μεγαλύτερα μυαλά των μαθηματικών, και όχι μόνο, εδώ και αιώνες, αν όχι χιλιετίες. Ο Γαλιλαίος και ο Πέτερ Χόιγκενς έγραψαν διατριβές για τα παιχνίδια με τα ζάρια ενώ ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Πιερ-Σιμόν ντε Φερμά συζητούσαν το ζήτημα σε επιστολές που αντήλλασσαν μεταξύ τους. Οσο και αν ορισμένοι φαίνονται να παίζουν «μιλητό» τάβλι φέρνοντας εξάρες ή ασόδυο ακριβώς όταν το χρειάζονται και όσο και αν κάποιοι άλλοι κατηγορούνται ότι «τσιμπάνε» τα ζάρια, ένας μαθηματικός τύπος για την πρόβλεψη της πορείας που θα ακολουθήσει ένα ζάρι από τη στιγμή που θα φύγει από τα δάχτυλά σας ώσπου να προσγειωθεί ακίνητο μπροστά σας δεν υπήρχε. Η γενική άποψη ήταν ότι επρόκειτο για ένα γεγονός απόλυτα τυχαίο, η έκβαση του οποίου δεν είναι δυνατόν να προβλεφθεί εκ των προτέρων.

Το ζάρι δεν το κυβερνά η Τύχη...

Καρέ-καρέ στην κάμερα υψηλής ταχύτητας: οι διαδοχικές αναπηδήσεις ενός ζαριού σε σχήμα κύβου επάνω σε μια επιφάνεια από καθρέφτη. Οι ερευνητές μελέτησαν επίσης άλλες επιφάνειες, όπως π.χ. από φελλό.


Τώρα μια ομάδα μαθηματικών από την Πολωνία κατόρθωσε να αναπτύξει το πρώτο τρισδιάστατο θεωρητικό μοντέλο για το ρίξιμο του ζαριού. Οι ερευνητές μάλιστα δεν συνέταξαν μόνο τις απαραίτητες εξισώσεις, αλλά επιπλέον «τεστάρισαν» τα θεωρητικά τους ευρήματα στην πράξη, «παρακολουθώντας» με μια κάμερα υψηλής ταχύτητας την κίνηση του ζαριού καρέ-καρέ και διαπιστώνοντας ότι αυτή ακολουθεί τις προβλέψεις τους. Το κύριο συμπέρασμα στο οποίο κατέληξαν ύστερα από πολυετείς μελέτες ανατρέπει την κρατούσα άποψη: αποκαλύπτει ότι το ρίξιμο του ζαριού δεν είναι τελικά τυχαίο, αλλά εξαρτάται από κάποιες πολύ συγκεκριμένες παραμέτρους.

Μη βιαστείτε παρ' όλα αυτά να ενθουσιαστείτε, θεωρώντας ότι ήρθε επιτέλους η στιγμή να τινάξετε όλες τις μπάνκες στον αέρα. Οπως σπεύδουν να τονίσουν στη μελέτη τους, η οποία έχει γίνει δεκτή προς δημοσίευση στην επιθεώρηση «Chaos», ο προσδιορισμός - ή, ακόμη καλύτερα, ο έλεγχος -  αυτών των παραμέτρων είναι τόσο δύσκολος ώστε μάλλον θα πρέπει να δεχθούμε πως το αν θα φέρουμε ντόρτια ή εξάρες τελικά στην πράξη εναπόκειται κατά κύριο λόγο στην τύχη. Αυτό ωστόσο δεν σημαίνει ότι δεν μπορείτε και εσείς να... βάλετε ένα χεράκι: η έρευνα ανέδειξε για πρώτη φορά ορισμένα άγνωστα ως τώρα συμπεράσματα - tips που μπορούν να βοηθήσουν δεινούς ταβλαδόρους, επίδοξους «βασιλιάδες» του καζίνου αλλά και απλούς ερασιτέχνες του Γκρινιάρη να «σπρώξουν» λίγο την τύχη προς το μέρος τους.

Οι πλευρές που είναι «πιο ίσες από τις άλλες»

Το κυριότερο είναι ότι, για να παραφράσουμε τον Οργουελ, αν και θεωρητικά όλες οι πλευρές του ζαριού είναι ίσες, ορισμένες είναι «πιο ίσες από τις άλλες». Συγκεκριμένα, πρόκειται για αυτές που βρίσκονται επάνω και κάτω όταν ξεκινάει η κίνηση. Αυτό σημαίνει πως παρ' ότι ως τώρα θεωρούνταν πως κάθε πλευρά είχε τις ίδιες πιθανότητες να βρεθεί από πάνω - και άρα να δώσει την τιμή της στη «ζαριά» σας - οι πολωνοί μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι είναι λιγάκι περισσότερες οι πιθανότητες της πλευράς που βρίσκεται από κάτω κατά την εκκίνηση του ζαριού να βρεθεί από κάτω και κατά την προσγείωσή του. Αυτές οι πιθανότητες γίνονται δε ακόμη πιο πολλές αν η τριβή κατά την προσγείωση είναι μεγαλύτερη - αν δηλαδή το ζάρι πέσει σε μια σχετικά μαλακή επιφάνεια.

Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την επιστημονική... αρχή τους. Αν και για εμάς είναι μια απλή κίνηση, το ρίξιμο του ζαριού αποτελεί ένα πρόβλημα πολυδιάστατο για τους ερευνητές, όπως εξηγεί μιλώντας στο «Βήμα» ο Μάρτσιν Καπιτάνιακ, διδακτορικός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Αμπερντίν και ένας εκ των συγγραφέων της μελέτης η οποία διεξήχθη από μαθηματικούς του Πολυτεχνείου του Λοτζ της Πολωνίας με επικεφαλής τον καθηγητή Τόμας Καπιτάνιακ. «Ενας τρόπος για να το προσεγγίσει κάποιος» διευκρινίζει «είναι με βάση τις πιθανότητες και, υπό αυτό το πρίσμα, γενικώς θεωρούνταν ότι οι πιθανότητες κάθε πλευράς να βρεθεί από πάνω είναι ίσες - σε ένα ζάρι δηλαδή σε σχήμα κύβου είναι μία προς έξι».

Ταυτοχρόνως όμως, προσθέτει, ένα ζάρι είναι ένα τέλειο στερεό σώμα και ως τέτοιο κινείται σύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα. Αυτό σημαίνει ότι η κίνησή του θα πρέπει να είναι απολύτως προβλέψιμη. «Το πρόβλημα είναι ότι η εξίσωση της κίνησης του ζαριού, αν λάβει κάποιος υπ' όψιν όλες τις παραμέτρους, όπως την τριβή ή την αναπήδηση στο τραπέζι, δεν είναι εύκολο να περιγραφεί» λέει. «Ισως γι' αυτό κανένας δεν είχε φτιάξει ένα τρισδιάστατο μοντέλο πριν από εμάς. Τα προβλήματα είναι πολλά: πρέπει να κάνεις μοντέλο για την τριβή, μοντέλο για την αναπήδηση, μοντέλο για την επαφή... Ας πούμε ότι η ιδέα είναι απλή, όλοι ξέρουν να κάνουν εξισώσεις, κανένας όμως δεν είχε διάθεση να το κάνει εξαιτίας της σύνθετης μορφής αυτών των εξισώσεων».

Με 9 μποφόρ και στα Ιμαλάια λίγα αλλάζουν...

Αριθμητικός υπολογισμός της πορείας των γωνιών ενός ζαριού σε σχήμα κύβου, με δεδομένες παραμέτρους όπως η μάζα του ζαριού (m), ο συντελεστής κρούσης (x) και το μήκος της ακμής του ζαριού (α)


Ακριβώς επειδή το ζήτημα είναι τόσο σύνθετο, το Τμήμα Μαθηματικών του καθηγητή Καπιτάνιακ στο Πολυτεχνείο του Λοτζ ασχολείται με αυτό εδώ και αρκετά χρόνια. Σε προηγούμενες μελέτες οι ερευνητές είχαν εξετάσει ξεχωριστά τις διάφορες παραμέτρους - το πώς π.χ. μπορεί να επηρεάσει το ζάρι η αντίσταση του αέρα ή η τριβή του με την επιφάνεια όπου πέφτει κάθε φορά. Σε αυτό το τελευταίο υπό δημοσίευση άρθρο «χτίζουν» επάνω στα προηγούμενα ευρήματά τους για να αναπτύξουν το ολοκληρωμένο θεωρητικό μοντέλο τους.

Ισως δεν θα το περιμένατε, όμως μερικά στοιχεία που με βάση τη μηχανική θα μπορούσε κάποιος να θεωρήσει ότι «καθοδηγούν» την κίνηση που θα ακολουθήσει το ζάρι δεν φαίνονται τελικά να παίζουν ρόλο - τουλάχιστον με τρόπο ο οποίος να μπορεί να θεωρηθεί άξιος λόγου. Η βαρύτητα στο σημείο στο οποίο βρίσκεστε, για παράδειγμα, δεν επηρεάζει σχεδόν καθόλου τη ζαριά σας. Εξίσου αμελητέα είναι και η αντίσταση του αέρα - «πρακτικά μπορεί να παραβλεφθεί εντελώς» λέει ο κ. Καπιτάνιακ -, οπότε μπορείτε να συνεχίσετε να παίζετε άφοβα το τάβλι σας με τα μελτέμια στις καλοκαιρινές σας διακοπές.

Η τριβή κάνει τη ζαριά

Μια μηχανική παράμετρος που αποδείχθηκε ωστόσο σημαντική είναι η τριβή. «Υπολογίσαμε την τριβή ανάμεσα στο ζάρι και στο τραπέζι, υπό την έννοια της ποσότητας της ενέργειας που διασκορπίζεται, του λεγόμενου συντελεστή της αντίστασης» εξηγεί ο ερευνητής. Οπως διαπίστωσαν, όσο μικρότερη είναι η τριβή τόσο πιο πολλές αναπηδήσεις θα κάνει το ζάρι προσκρούοντας στην επιφάνεια, με αποτέλεσμα η πρόβλεψη της έκβασης της κίνησής του να είναι δυσκολότερη. «Μικρότερη τριβή έχουν οι σκληρές επιφάνειες» διευκρινίζει. Οι μαλακές επιφάνειες έχουν μεγαλύτερη τριβή επειδή μπορούν να σταματήσουν επάνω τους το ζάρι αμέσως». Αυτό σημαίνει ότι αν παίζετε στο ξύλινο τάβλι η ζαριά σας είναι δυσκολότερο να προβλεφθεί. Αντιθέτως, στην πράσινη τσόχα του καζίνου τα πράγματα είναι ελαφρώς πιο προβλέψιμα.

Ελαφρώς γιατί, εξαιτίας της πολυπλοκότητας του όλου ζητήματος, τα πράγματα στα ζάρια παραμένουν εξαιρετικά ρευστά. Ακόμη και οι αναπηδήσεις δεν φαίνεται να παίζουν πάντοτε τον ίδιο ρόλο. Βεβαίως όσο πιο πολλές είναι οι αναπηδήσεις τόσο λιγότερο προβλέψιμο είναι το γεγονός, όπως όμως έδειξαν οι εικόνες της κάμερας υψηλής ταχύτητας αρκετά συχνά το ζάρι δεν άλλαζε τον προσανατολισμό του ύστερα από μια αναπήδηση.

«Τσίμπημα» ακριβείας

Η μόνη παράμετρος που φάνηκε να επηρεάζει πάντοτε το αποτέλεσμα ήταν η θέση που είχε το ζάρι όταν ξεκινούσε την κίνησή του, τη στιγμή δηλαδή που το «έριχνε» το ειδικό μηχάνημα. «Νομίζω ότι ο πιο σημαντικός παράγοντας είναι η αρχική θέση» λέει ο κ. Καπιτάνιακ. «Φανταστείτε ότι ρίχνετε ένα ζάρι στην ίδια επιφάνεια επαναλαμβανόμενα. Επειδή δεν μπορείτε να επιτύχετε την ίδια αρχική θέση, ακριβώς την ίδια, το αποτέλεσμα θα είναι διαφορετικό κάθε φορά. Φυσικά και η τριβή παίζει ρόλο, στο συγκεκριμένο πείραμα όμως η τριβή δεν έχει σημασία γιατί ρίχνετε το ίδιο ζάρι στην ίδια επιφάνεια». Το γεγονός ότι είναι τόσο δύσκολο να επιτύχουμε ακριβώς την επιθυμητή θέση, συμπληρώνει, είναι αυτό που καθιστά την κατά τα άλλα προκαθορισμένη και υπολογίσιμη πορεία της ζαριάς πρακτικά τυχαία.

Αν όλα αυτά σάς φαίνονται «ασκήσεις πολυτελείας» χρήσιμες μόνο για την εκγύμναση του πνεύματος ορισμένων μαθηματικών ή ενδιαφέρουσες μόνο για τους παίκτες των καζίνων, ίσως θα πρέπει να το ξανασκεφθείτε.

Οπως μας εξηγεί ο ερευνητής, η μελέτη της κίνησης του ζαριού μπορεί να έχει εφαρμογή σε οποιοδήποτε ασυνεχές μηχανικό σύστημα - μπορεί δηλαδή να περιγράψει κάθε μηχανικό σύστημα στο οποίο προκαλείται ασυνέχεια εξαιτίας μιας πρόσκρουσης ή ενός κραδασμού. Ως παράδειγμα αναφέρει τα συστήματα απορρόφησης των κραδασμών σε διάφορα μηχανήματα, όπως τα κρουστικά τρυπάνια.

Μπορεί να μας πει τι θα πρέπει να κάνουμε για να φέρουμε την «καλή ζαριά» στα παιχνίδια μας; «Δυστυχώς δεν μπορώ. Αν μπορούσα, θα ήμουν μάγος» απαντά.

«Εμείς είδαμε ότι η πλευρά που είναι επάνω όταν ρίχνετε το ζάρι είναι πιθανότερο να παραμείνει επάνω όταν αυτό προσγειωθεί. Είναι όμως πολύ δύσκολο να εξασφαλίσετε ότι το ζάρι θα έχει την κατάλληλη θέση όταν θα φύγει από το χέρι σας». Αυτό δεν σημαίνει ότι έχετε κάτι να χάσετε αν το προσπαθήσετε - αντιθέτως, αν φροντίσετε να ξεκινάτε τη ζαριά σας με τον επιθυμητό αριθμό στο επάνω μέρος, ίσως τελικά να βγείτε κερδισμένοι.

Χάος στην πράσινη τσόχα



Η χαοτική πορεία ενός ζαριού επάνω σε ένα περιοδικά παλλόμενο τραπέζι.


Τα παιχνίδια όπως τα ζάρια και η ρουλέτα - ή ακόμη και το πιο απλό κορόνα-γράμματα - δεν λέγονται τυχαία «τυχερά». Εξαιτίας του γεγονότος ότι αρνούνται να δώσουν εκ των προτέρων ένα προβλέψιμο αποτέλεσμα με βάση τους νόμους των πιθανοτήτων και της μηχανικής, αποτελούν ένα διαχρονικό πρόβλημα για την επιστήμη. Στον 20ό αιώνα η εμφάνιση της θεωρίας του χάους φάνηκε να προσφέρει μια λογική εξήγηση στο αιώνιο παζλ, δίνοντας μια άλλου είδους «χαοτική» διάσταση στην πράσινη τσόχα των καζίνων.

Οι περισσότεροι έχουν ίσως συνδέσει τη θεωρία του χάους με τα φτερά μιας πεταλούδας που πετώντας στη Βραζιλία προκαλεί τυφώνα στο Τέξας. Το παράδειγμα θέλει να τονίσει το γεγονός ότι σε ένα αιτιοκρατικό μη γραμμικό σύστημα σαν αυτά που περιγράφονται με τη θεωρία του χάους (όπως π.χ. τα μετεωρολογικά συστήματα ή οι κινήσεις των υποατομικών σωματιδίων) οι αρχικές συνθήκες είναι πολύ σημαντικές. Εστω και μια ανεπαίσθητη μεταβολή τους - όπως το άνοιγμα των φτερών μιας πεταλούδας - μπορεί να προκαλέσει μια σειρά από αντιδράσεις που θα αλλάξουν την έκβαση των πραγμάτων και το τελικό αποτέλεσμα. Για τον λόγο αυτόν λέγεται και ότι τα συστήματα αυτά χαρακτηρίζονται από φαινομενική τυχαιότητα: αν και είναι ντετερμινιστικά, δηλαδή εξελίσσονται τακτοποιημένα και καθορισμένα και κάθε άλλο παρά τυχαία, η μεγάλη «ευαισθησία» τους ως προς τις αρχικές συνθήκες μοιάζει να εισάγει κατά κάποιον τρόπο τον παράγοντα της τύχης. Από την άποψη αυτή, η θεωρία ταιριάζει «γάντι» σε παιχνίδια όπως το ζάρι ή η ρουλέτα. Τα πράγματα δεν είναι όμως τόσο απλά.

«Η θεωρία του χάους παίζει ρόλο, θα πρέπει όμως να πάτε λίγο πιο πέρα και να σκεφθείτε κάτι που λέγεται μεταβατική θεωρία του χάους» μας λέει ο κ. Καπιτάνιακ. «Πριν από χρόνια, όταν εγώ ήμουν στο δημοτικό και ξεκίνησε όλη η θεωρία του χάους, όλοι θεωρούσαν ότι όλα μπορούν να περιγραφούν με αυτήν. Και βεβαίως το φυσικό ερώτημα ήταν: "Μήπως και το ρίξιμο του ζαριού μπορεί να εξηγηθεί με αυτήν;"». Παρ' ότι οι πολωνοί μαθηματικοί κατέληξαν στο συμπέρασμα πως οι αρχικές συνθήκες στο ρίξιμο του ζαριού είναι τόσο δύσκολο να καθοριστούν ώστε, αν και θεωρητικά προβλέψιμο, το γεγονός πρακτικά είναι τυχαίο, το ζάρι δεν έχει χαοτική συμπεριφορά.

«Οι χαοτικές διαδικασίες είναι συνήθως ασυμπτωτικές, εξελίσσονται επ' άπειρον» λέει ο μαθηματικός. «Το ρίξιμο του ζαριού είναι όμως πεπερασμένο, το "φινάλε" είναι η προσγείωσή του». Οπως ανακάλυψαν οι πολωνοί ερευνητές, το ζάρι μπορεί να γίνει χαοτικό - αποκτώντας «άπειρη» κίνηση - μόνο σε δύο περιπτώσεις: Η πρώτη είναι αν θεωρήσουμε ότι οι προσκρούσεις του ζαριού στην επιφάνεια στην οποία πέφτει είναι ελαστικές έτσι ώστε η ενέργεια να μη χάνεται ποτέ - σε ένα χαμιλτονιανό σύστημα, όπως ονομάζεται. Η δεύτερη είναι αν το ζάρι πέσει σε ένα τραπέζι που δονείται - κάτι το οποίο επίσης διατηρεί την ενέργεια. Και οι δύο περιπτώσεις όμως, όπως τονίζεται στη μελέτη, είναι μη ρεαλιστικές. «Νομίζω ότι το βασικό συμπέρασμα της δουλειάς μας είναι πως το ρίξιμο του ζαριού δεν είναι ούτε χαοτικό ούτε τυχαίο» καταλήγει ο ερευνητής. «Εξαιτίας όμως της δυσκολίας καθορισμού των αρχικών συνθηκών, δεν μπορούμε να προβλέψουμε τα αποτελέσματα».